【考纲下载】1.理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．2．会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值.第2讲导数的应用设函数y＝f(x)在某个区间内可导，则(1)f′(x)>0⇒f(x)为；(2)f′(x)<0⇒f(x)为；(3)f′(x)＝0⇒f(x)为.增函数减函数常函数1．函数的单调性提示：在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间内为增(减)函数的充分条件，而不是必要条件，如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间内的单调性．(1)函数的极值一般地，设函数y＝f(x)在x＝x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0的函数值都大，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极大值；如果f(x0)的值比x0的函数值都小，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极小值．极大值与极小值统称极值．2．函数的极值附近所有各点附近所有各点(2)求可导函数极值的步骤①求导数f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检验f′(x)在方程f′(x)＝0根的左右的值的符号，如果左正右负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得值；如果左负右正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得值．极大极小提示：可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．也就是说x0是极值点的充分条件是在x0点两侧导数异号，而不是f′(x0)＝0.例如函数y＝x3在x＝0处有y′|x＝0＝0，但x＝0不是极值点．此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点．求可导函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤：①求y＝f(x)在(a，b)内的极值(极大值或极小值)；②将y＝f(x)在各极值点的极值与、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．提示：函数的极值表示函数在某一点附近的情况，是在局部上对函数值的比较；函数的最值表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．函数的极值不一定是最值，最值也不一定是极值．f(a)f(b)3．函数的最值数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()1．(2009·湖南卷)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函解析：由f′(x)在[a，b]上是增函数，知函数f(x)的图象上点的切线斜率随x的增大而增大，B选项中，切线斜率递减，C选项切线斜率不变，D选项切线斜率先增加后减小，只有A选项符合题意，故选A项．答案：AA．2B．1C．0D．与a值有关解析：f′(x)＝3x2＋6x＋3，令f′(x)＝0可得x＝－1，而当x≠－1时，f′(x)>0，所以函数f(x)没有极值．答案：C2．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值个数是()A．11B．2C．12D．10解析：y′＝4x3－16x.∴ymax＝11.x－1(－1,0)0(0,2)2(2,3)3y′＋0－0＋y－52－1411答案：A3．函数y＝x4－8x2＋2在[－1,3]上的最大值为()解析：f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x2－10x－11)＝3(x＋1)(x－11)<0，解得：－10或f′(x)<0，解出相应的x的范围，当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数．设函数f(x)在(a，b)内可导，若f(x)在(a，b)内是增函数，则可得f′(x)≥0，从而建立了关于待求参数的不等式，同理，若f(x)在(a，b)内是减函数，则可得f′(x)≤0.(2)已知函数单调性，求参数范围．【例1】已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1－讨论函数f(x)的单调性．思维点拨：求导数令导数为0，得出其解，分区间对a进行讨论确定f′(x)的正负．解：由题设知a≠0.f′(x)＝3ax2－6x＝3ax令f′(x)＝0得x1＝0，x2＝①当a>0时，(如右图1)若x∈(－∞，0)，则f′(x)>0，所以f(x)在区间(－∞，0)上是增函数；若x∈则f′(x)<0，所以f(x)在区间上是减函数；若x∈则f′(x)>0，所以f(x)在区间上是增函数．②当a<0时，(如右图2)若x∈则f′(x)<0，所以f(x)在区间上是减函数；若x∈则f′(x)>0，所以f(x)在区间上是增函数；若x∈(0，＋∞)，则f′(x)<0，所以f(x)在区间(0，＋∞)]上是减函数．图2(1)讨...
