高中数学 444 平摆线与圆的渐开线学案 苏教版选修4-2 课件-2VIP免费

平摆线与圆的渐开线1、摆线的定义思考：P51如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？OABMOAMAOAr线段的长等于的长，即摆线在它与定直线的两个相邻交点之间的部分叫做一个拱。xyODAEBMC2、摆线的参数方程OABM根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。设圆的半径为rMxAB设开始时定点在原点，圆滚动了角后与轴相切于点，圆心在点。MABxCD从点分别做，轴的垂线，垂足分别是，。(,),MxyM设点的坐标为取为参数，根据点满足的几何条件，有sin,xODOADAOAMCrrcos.yDMACABCBrr所以，摆线的参数方程为：(sin),()(1cos).xryr为参数xyODAEBMC3、摆线的参数方程OABM(sin),()(1cos).xryr为参数摆线的参数方程为：思考：在摆线的参数方程中，参数的取值范围是什么？一个拱的宽度与高度各是什么？说明•摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线）上滚动时，动圆上一点的轨迹。•当基线是直线时，就得到平摆线或变幅平摆线。•当基线是圆且动圆在定圆内滚动时，就得到内摆线或变幅内摆线。•当基线是圆且动圆在定圆外滚动时，若两圆外切，就得到外摆线或变幅外摆线。4、渐开线的定义探究：把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？动点（笔尖）满足什么几何条件？ABMO设开始时绳子外端（笔尖）位于点A，当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角的一段弧AB，展开后成为切线，所以切线BM的长就是AB的长，这是动点（笔尖）满足的几何条件。我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆。ABMOxy5、渐开线的参数方程以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系。设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。显然，点M由角唯一确定。B取为参数，则点的坐标为（rcos,rsin）,从而(cos,sin),||.BMxryrBMr�1(cos,sin)eOB��由于向量是与同方向的单位向量，2(sin,cos)eBM��因而向量是与向量同方向的单位向量。2(),BMre�所以即(cos,sin)(sin,cos)BMxryrr�(cossin)()(sincos)xryr解得是参数。这就是圆的渐开线的参数方程。6、渐开线的参数方程ABMOxy(cossin)()(sincos)xryr是参数。渐开线的应用：由于渐开线齿形的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，因此大多数齿轮采用这种齿形。设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。直齿平行轴齿轮传动机构（圆柱齿轮传动机构）斜齿齿轮齿条内齿轮交错轴齿轮传动机构斜齿蜗杆蜗轮曲齿人字齿直齿相交轴齿轮传动机构（圆锥齿轮传动机构）斜齿曲线齿准双曲面齿轮小结：1、圆的渐开线，渐开线的参数方程2、平摆线、摆线的参数方程