第二节平面向量基本定理及向量的坐标表示重点难点重点：①掌握平面向量基本定理，会进行向量的正交分解②理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算难点：向量的正交分解与平面向量基本定理知识归纳1．平面向量基本定理(1)如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数a1、a2，使得a＝___________.我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这个平面内所有向量的一组基底．a1e1＋a2e2(2)直线的向量参数方程式：A、B是直线l上两点，O为l外一点，点P在直线l上的充要条件是OP→＝(1－t)OA→＋tOB→(t为参数)．(4)OM→＝12(OA→＋OB→)⇔M是线段AB的中点．2．已知两个非零向量a与b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ叫做a与b的夹角．(0°≤θ≤180°)当θ＝0°时，a与b方向_____；当θ＝180°时，a与b方向_____；当θ＝90°时，称a与b_______3．如果基底的两个基向量互相垂直，则称其为正交基底，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．相同垂直．相反4．平面向量的直角坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对平面内任一向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则实数对(x，y)叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，其中x，y分别叫做a在x轴、y轴上的坐标，相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相等向量．5．平面向量的直角坐标运算(1)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)非零向量a的单位向量为±a|a|.误区警示1．已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时，一定要搞清方向，用对应的终点坐标减去始点坐标．2．要注意区分向量的坐标与向量终点的坐标．3．只要两个向量不共线，这两个向量就可以作为平面的一组基底，同一向量在不同．．基底下的坐标不同，在同一基底下的坐标是惟一的．4．注意向量共线与向量垂直的坐标表示的区别，若a＝(x1，x2)，b＝(y1，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，当a，b都是非零向量时，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0，同时还要注意a∥b与x1x2＝y1y2不等价．解题技巧证明共线(或平行)问题的主要依据：(1)对于向量a，b，若存在实数λ，使得b＝λa，则向量a与b共线(平行)．(2)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若x1y2－x2y1＝0，则向量a∥b.(3)对于向量a，b，若|a·b|＝|a|·|b|，则a与b共线．[例1]已知点A(－1,2)，B(2,8)，AC→＝13AB→，DA→＝－13BA→，求点C、D的坐标和CD→的坐标．分析：只要设出C、D的坐标，就可以利用向量线性运算的坐标表示求解．向量的坐标运算解析：设点C、D的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，∴AC→＝(x1＋1，y1－2)，AB→＝(3,6)，DA→＝(－1－x2,2－y2)，BA→＝(－3，－6)． AC→＝13AB→，DA→＝－13BA→，∴x1＋1＝1y1－2＝2，和－1－x2＝12－y2＝2.解得x1＝0y1＝4，和x2＝－2y2＝0.所以点C、D的坐标分别是(0,4)、(－2,0)，从而CD→＝(－2，－4)．已知A(7,1)，B(1,4)，直线y＝12ax与线段AB交于C，且AC→＝2CB→，则实数a等于()A．2B．1C.45D.53解析：设C(x0，y0)，则y0＝12ax0，∴AC→＝(x0－7，12ax0－1)，CB→＝(1－x0,4－12ax0)， AC→＝2CB→，∴x0－7＝21－x012ax0－1＝24－12ax0，∴x0＝3a＝2.答案：A点评：如果注意到点C在直线y＝12ax上，可直接设C(2x0，ax0)，求出AC→，CB→代入AC→＝2CB→解方程即可.[例2](文)(2010·江苏苏北四市)已知向量a＝(6,2)，b＝(－3，k)，若a∥b，则实数k等于()A．1B．－1C．－2D．2向量共线的条件解析：解法一： a∥b，∴存在实数λ，使b＝λa，∴(－3，k)＝(6λ，2λ)，∴6λ＝－32λ＝k，∴k＝－1.解法二： a∥b，∴－36＝k2，∴k＝－1.答案：B(理)如图所示，在▱ABCD中，已知AE→＝13BC→，AC与BE相交于点F，AF→＝λAC→，则λ＝________.解析：设BA→＝a，BC→＝b.则BE→＝...
