必考部分第七章立体几何第五节空间中垂直关系考纲点击1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论，证明一些空间位置关系的简单命题.明考向理基础悟题型课时作业研知识梳理1．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的直线都垂直，则直线l与平面α垂直．(2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线．任意一条相交平行2．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．两个半平面垂直于棱3．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理：一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直．(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内的直线与另一个平面垂直．直二面角垂线垂直于交线1．直线l不垂直于平面α，则α内与l垂直的直线有()A．0条B．1条C．无数条D．α内所有直线基础自测解析：可以有无数条．答案：C2．已知α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：α⊥β⇒/m⊥β，但m⊥βm⊂α⇒α⊥β.答案：B3．边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则AC的长为()A.2aB.22aC.32aD．a解析：取BD的中点E，连接AE，EC则BD⊥AE，BD⊥EC，∠AEC是直二面角的平面角，即∠AEC＝90°，在Rt△AEC中，AE＝EC＝2a2，于是AC＝AE2＋EC2＝a.答案：D4．一平面垂直于另一平面的一条平行线，则这两个平面的位置关系是________.解析：由线面平行的性质定理知，该面必有一直线与已知直线平行．再根据“两平行线中一条垂直于一平面，另一条也垂直于该平面”得出结论．答案：垂直相交5．设α、β、γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ；②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α垂直；④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β.上面命题中，真命题的序号为__________(写出所有真命题的序号)．解析：③中l∥α也满足，④中α与β可能相交．答案：①②要点点拨1．应用定理时应注意的问题运用线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行垂直的转化，一定要严格按照定理成立的条件规范书写，否则容易丢分，例如，把面面垂直转化成线面垂直时，一定不要漏了条件直线在平面内，否则定理不成立．2．几个常用的结论(1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直；(2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直；(3)垂直于同一平面的两条直线互相平行；(4)垂直于同一直线的两个平面互相平行．[例1]如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD.证明：AD⊥平面PAC.热点题型一直线与平面垂直的判定与性质[思路点拨]只需证AD⊥AC，再利用线面垂直的判定定理即可．[证明] ∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1.∴∠DAC＝90°，即AD⊥AC，又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PO⊥AD，而AC∩PO＝O，∴AD⊥平面PAC.[规律总结](1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a∥b，a⊥α⇒b⊥α；③α∥β，a⊥α⇒a⊥β；④面面垂直的性质．(2)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．变式训练1如图，已知BD⊥平面ABC，MC綉12BD，AC＝BC，N是棱AB的中点．求证：CN⊥AD.[证明] BD⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，∴BD⊥CN.又 AC＝BC，N是AB的中点．∴CN⊥AB.又 BD∩AB＝B，∴CN⊥平面ABD，而AD⊂平面ABD，∴CN⊥AD.[例2]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱AB，BC的中点．热点题型二平面与平面垂直的判定与性质(1)试判断截面MNC1A1的形状，并说明理由；(2)证明：平面MNB1⊥平面BDD1B1.[解](1)截面MNC1A1是等腰梯形．连接AC，因为M，N分别为棱AB...
