§4.6正弦定理和余弦定理基础知识自主学习要点梳理1．正弦定理：asinA＝bsinB＝csinC＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)a＝，b＝，c＝；(3)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2RsinA2RsinB2RsinC2．余弦定理：a2＝，b2＝，c2＝.余弦定理可以变形为：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.3．S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC4．在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题．[难点正本疑点清源]解三角形时，三角形解的个数的判断在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA
b解的个数一解两解一解一解基础自测1．(2010·北京)在△ABC中，若b＝1，c＝3，C＝2π3，则a＝________.解析由正弦定理，有3sin2π3＝1sinB，∴sinB＝12. C为钝角，∴B必为锐角，∴B＝π6，∴A＝π6.∴a＝b＝1.12．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2，b＝6，B＝120°，则a＝________.解析由正弦定理bsinB＝csinC得，6sin120°＝2sinC，sinC＝12，C＝30°，A＝C＝30°，a＝c＝2.23．在△ABC中，若AB＝5，AC＝5，且cosC＝910，则BC＝________.解析设BC＝x，则由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC得5＝x2＋25－2·5·x·910，即x2－9x＋20＝0，解得x＝4或x＝5.4或54．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cosB=解析由已知得b2＝ac，c＝2a，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝5a2－2a24a2＝34.345．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为3，则△ABC外接圆的半径为________．393题型分类深度剖析题型一利用正弦定理求解三角形例1在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A、C和边c.思维启迪已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断．解由正弦定理得asinA＝bsinB，3sinA＝2sin45°，∴sinA＝32. a>b，∴A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝bsinCsinB＝6＋22；当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝bsinCsinB＝6－22.探究提高(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．变式训练1(2010·广东)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则sinA＝________.解析 A＋C＝2B，∴B＝π3.由正弦定理知sinA＝asinBb＝12.12题型二利用余弦定理求解三角形例2在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cosBcosC＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．思维启迪由cosBcosC＝－b2a＋c，利用余弦定理转化为边的关系求解．解(1)由余弦定理知：cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.将上式代入cosBcosC＝－b2a＋c得：a2＋c2－b22ac·2aba2＋b2－c2＝－b2a＋c，整理得：a2＋c2－b2＝－ac.∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝－ac2ac＝－12. B为三角形的内角，∴B＝23π.(2)将b＝13，a＋c＝4，B＝23π代入b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac－2accosB，∴13＝16－2ac1－12，∴ac＝3.∴S△ABC＝12acsinB＝334.探究提高(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．变式训练2已知A、B、C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a、b、c，且2cos2A2＋cosA＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．解(1)由2cos2A2＋cosA＝0，得1＋cosA...
