第七节正弦定理和余弦定理基础梳理1.设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a,b,c,R是△ABC的外接圆半径.(1)正弦定理三角形的____________________________,即________=________=________=2R.各边和它所对角的正弦的比相等asinAbsinBcsinC(2)正弦定理的三种形式①a=________,b=________,c=________(边到角的转换);②sinA=________,sinB=________,sinC=________(角到边的转换);③a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.2aR2bR2cR2RsinC2RsinA2RsinB12122.三角形常用面积公式(1)S=(2)S=________=________=________=________.(3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).a×h(h表示三角形长为a的边上的高).12ah1sin2acB1sin2abC1sin2bcA3.余弦定理三角形任何一边的平方等于_______________________________________________________________.即a2=____________________;b2=____________________;c2=____________________.其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍b2+c2-2bccosAc2+a2-2cacosBa2+b2-2abcosC余弦定理也可以写成如下形式cosA=________;cosB=________;cosC=________.2222bcabc2222acbac2222abcab4.勾股定理是余弦定理的特殊情况.在余弦定理表达式中分别令A、B、C为90°,则上述关系式分别可化为:________,________,________.b2=a2+c2c2=a2+b2a2=b2+c2基础达标1.△ABC的边分别为a、b、c,且a=1,c=42,则△ABC的面积为________.B=45°,解析:S△ABC=12acsinB=11422sin45°=2.2.在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4,则cosC的值为________.解析: sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=3∶2∶4,不妨设a=3,b=2,c=4,则cosC=2222223241.22324abcab3.(必修5P10第2题改编)已知△ABC中,acosA+bcosB=ccosC,则△ABC的形状为________.解析:由余弦定理,化简整理可得(a2-b2)2=c4,∴a2=b2+c2或b2=c2+a2,故△ABC为直角三角形.4.设a,b,c是锐角△ABC的角A,B,C的对边,若B=2A,则ba的取值范围是________.解析:由题意和正弦定理,得222,bsinBsinAsinAcosAcosAasinAsinAsinA又由B=2A且△ABC是锐角三角形,得,64A所以22cos3.A故ba的取值范围是(2,3).5.(必修5P16第1题改编)在△ABC中,A=,3a=3则b与c的值分别为________.,b+c=3,解析:由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccosA,即3=b2+c2-2bccos,3也即b2+c2-bc=3,∴(b+c)2=3bc+3,又 b+c=3,∴bc=2.于是由32bcbc解得12bc或21.bc经典例题题型一正弦定理和余弦定理的应用【例1】(2010×天津)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=bc,sinC=2sinB,则A=________.3333分析:由sinC=2sinB和正弦定理可求得c=2由此运用余弦定理可求得cosA的值,进而求出A.b,222222322bcabcbbcbcbc22323323322223cbcbbbbcbb解:由sinC=2sinB结合正弦定理得:c=2所以由余弦定理得:cosA=,所以A=30°.33b,变式1-1(2010×湖北改编)在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cosB=________.,absinAsinB1510,60sinsinB3.321sinB6.3解析:根据正弦定理得解得sinB=又因为b<a,则B<A,故B为锐角,所以cosB=题型二三角形的面积问题【例2】在△ABC中,内角A、B、C对边的边长分别是a,b,c,已知c=2,C=.3若△ABC的面积等于求a,b.3,分析:分别利用正弦定理和余弦定理建立关于a,b的方程,然后解方程组得a,b.解:由余弦定理及已知条件得a2+b2-ab=4. △ABC的面积等于3,∴12absinC=3,∴ab=4.联立方程组224,4,ababab解得22.ab变式2-1551010在△ABC中,cosA=,cosB=2.(1)求角C;(2)设AB=,求△ABC的面积..46,10ABACABsinBACsinCsinBsinC1265(2)根据正弦定理得所以△ABC的面积为AB×AC×sinA=2,22,53,10所以sinA=sinB=,因为cosC=cos[-(A+B)]又0<C<,故C=5,5解析:(1)由cosA=10,10cosB=0,,2得A,B∈=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=题型三判断三角形的形状【例3】(2010×辽宁)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+...