高三数学 57正弦定理余弦定理复习课件VIP免费

第七节正弦定理和余弦定理基础梳理1.设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，R是△ABC的外接圆半径．(1)正弦定理三角形的____________________________，即________=________=________=2R.各边和它所对角的正弦的比相等asinAbsinBcsinC(2)正弦定理的三种形式①a=________，b=________，c=________(边到角的转换)；②sinA=________，sinB=________，sinC=________(角到边的转换)；③a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.2aR2bR2cR2RsinC2RsinA2RsinB12122.三角形常用面积公式(1)S=(2)S=________=________=________=________.(3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径)．a×h(h表示三角形长为a的边上的高)．12ah1sin2acB1sin2abC1sin2bcA3.余弦定理三角形任何一边的平方等于_______________________________________________________________．即a2=____________________；b2=____________________；c2=____________________.其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍b2+c2-2bccosAc2+a2-2cacosBa2+b2-2abcosC余弦定理也可以写成如下形式cosA=________；cosB=________；cosC=________.2222bcabc2222acbac2222abcab4.勾股定理是余弦定理的特殊情况．在余弦定理表达式中分别令A、B、C为90°，则上述关系式分别可化为：________，________，________.b2=a2+c2c2=a2+b2a2=b2+c2基础达标1.△ABC的边分别为a、b、c，且a=1，c=42,则△ABC的面积为________．B=45°，解析：S△ABC=12acsinB=11422sin45°=2.2.在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4，则cosC的值为________．解析： sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=3∶2∶4，不妨设a=3，b=2，c=4，则cosC=2222223241.22324abcab3.(必修5P10第2题改编)已知△ABC中，acosA+bcosB=ccosC，则△ABC的形状为________．解析：由余弦定理，化简整理可得(a2-b2)2=c4，∴a2=b2+c2或b2=c2+a2，故△ABC为直角三角形．4.设a，b，c是锐角△ABC的角A，B，C的对边，若B=2A，则ba的取值范围是________．解析：由题意和正弦定理，得222,bsinBsinAsinAcosAcosAasinAsinAsinA又由B=2A且△ABC是锐角三角形，得,64A所以22cos3.A故ba的取值范围是(2,3).5.(必修5P16第1题改编)在△ABC中，A=,3a=3则b与c的值分别为________．，b+c=3，解析：由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA，即3=b2+c2-2bccos,3也即b2+c2-bc=3，∴(b+c)2=3bc+3，又 b+c=3，∴bc=2.于是由32bcbc解得12bc或21.bc经典例题题型一正弦定理和余弦定理的应用【例1】(2010×天津)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a，b，c，若a2-b2=bc，sinC=2sinB，则A=________.3333分析：由sinC=2sinB和正弦定理可求得c=2由此运用余弦定理可求得cosA的值，进而求出A.b，222222322bcabcbbcbcbc22323323322223cbcbbbbcbb解：由sinC=2sinB结合正弦定理得：c=2所以由余弦定理得：cosA=，所以A=30°.33b，变式1-1(2010×湖北改编)在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=________.,absinAsinB1510,60sinsinB3.321sinB6.3解析：根据正弦定理得解得sinB=又因为b＜a，则B＜A，故B为锐角，所以cosB=题型二三角形的面积问题【例2】在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=.3若△ABC的面积等于求a，b.3,分析：分别利用正弦定理和余弦定理建立关于a，b的方程，然后解方程组得a，b.解：由余弦定理及已知条件得a2+b2-ab=4. △ABC的面积等于3,∴12absinC=3,∴ab=4.联立方程组224,4,ababab解得22.ab变式2-1551010在△ABC中，cosA=，cosB=2.(1)求角C；(2)设AB=，求△ABC的面积．.46,10ABACABsinBACsinCsinBsinC1265(2)根据正弦定理得所以△ABC的面积为AB×AC×sinA=2,22,53,10所以sinA=sinB=，因为cosC=cos[-(A+B)]又0＜C＜，故C=5,5解析：(1)由cosA=10,10cosB=0,,2得A，B∈=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=题型三判断三角形的形状【例3】(2010×辽宁)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=(2b+...