高一数学(基本不等式：ab≤ab)课件 课件VIP免费

3.4基本不等式：ab≤a＋b2•1．探索并了解基本不等式的证明过程．•2．能利用基本不等式证明简单不等式．•3．熟练掌握基本不等式及变形应用．•4．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．•1．本课难点是利用基本不等式证明不等式．•2．利用基本不等式求最值是本课热点．•3．多以选择题、填空题形式考查，偶以解答题形式考查．•1．由不等式性质可知，对任意a，b∈R，(a－b)20，因此a2＋b22ab.什么时候等号能成立呢？当且仅当时，取等号．•2．把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a.如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同(其他因素不计)，那么a并非物体的实际质量．不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体的质量为b.那么如何合理地表示物体的质量呢？≥≥a＝b简单的做法是，把两次称得物体的质量“平均”一下，以A＝a＋b2表示物体的质量．这样的做法合理吗？•1．基本不等式•(1)重要不等式：对于任意实数a、b，都有a2＋b22ab，•当且仅当时，等号成立．•(2)基本不等式•①形式：•②成立的前提条件：；•③等号成立的条件：当且仅当时取等号．≥a＝bab≤a＋b2；a>0，b>0a＝b•2．应用基本不等式求最值•如果x，y都是正数，那么•(1)若积xy是定值P，那么当时，和x＋y有•(2)若和x＋y是定值S，那么当时，积xy有④对任意两个正实数a、b，a＋b2叫做a，b的，ab叫做a，b的算术平均数几何平均数．x＝y最小值．x＝y最大值．•1．不等式m2＋1≥2m中等号成立的条件是()•A．m＝1•B．m＝±1•C．m＝－1•D．m＝0•解析：m2＋1＝2m时，m＝1.故选A.•答案：A•答案：B2．若x＞0，y＞0，且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是()A.1x＋y≤14B.1x＋1y≥1C.xy≥2D.1xy≥1解析：若x＞0，y＞0，由x＋y＝4，得x＋y4＝1，∴1x＋1y＝14(x＋y)1x＋1y＝142＋yx＋xy≥14(2＋2)＝1.•3．设a，b∈R，a＝3－b，则2a＋2b的最小值是________．解析：2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝2·23＝42答案：424．求证：a＋b22≤a2＋b22.证明：a＋b22＝a2＋b2＋2ab4≤a2＋b2＋a2＋b24＝a2＋b22(当且仅当a＝b时“＝”成立)．利用基本不等式证明简单不等式已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1.求证：1a－11b－11c－1≥8.不等式右边数字为8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式，可得三个“2”连乘，又1a－1＝1－aa＝b＋ca≥2bca，可由此变形入手．[解题过程]证明： a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，∴1a－1＝1－aa＝b＋ca≥2bca，同理1b－1≥2acb，1c－1≥2abc.由上述三个不等式两边均为正，分别相乘1a－11b－11c－1≥2bca·2acb·2abc＝8.当且仅当a＝b＝c＝13时，等号成立．[题后感悟](1)多次使用a＋b≥2ab时，要注意等号能否成立．累加法是不等式性质的应用，也是证明不等式的一种常用方法．(2)对不能直接使用基本不等式的证明，要重新组合，构造运用基本不等式的条件．若条件中有一个多项式的和为1，要注意“1”代换．1．已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：(1)a＋b＋c＞ab＋bc＋ac；(2)a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac.证明：(1) a＞0，b＞0，c＞0，∴a＋b≥2ab＞0，b＋c≥2bc＞0，c＋a≥2ca＞0.∴2(a＋b＋c)≥2(ab＋bc＋ca)，•(2) a＞0，b＞0，c＞0，•∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.•∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，•即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.•由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．•∴a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca.即a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．∴a＋b＋c＞ab＋bc＋ca.•利用基本不等式时，应按照“一正，二定，三相等”的原则创造条件，检查条件是否具备，再利用基本不等式解之．(1)若x>0，求f(x)＝12x＋3x的最小值．(2)已知x>2，求f(x)＝x＋4x－2的最小值；(3)求函数y＝x2＋8x－1(x>1)的最小值．[解题过程](1)因为x>0，由基本不等式，得f(x)＝12x＋3x≥212x·3x＝236＝12，当且仅当12x＝3x，即x＝2时，f(x)取得最小值1...