高中数学原创课件：累积、迭代法证明不等式(河南省滑县六中) 课件VIP免费

累积、迭代法证明不等式用户hxlzabcdefg@163.com河南马守林累积、迭代法证明不等式综合性较强，高考中一般以高档题出现，下面通过介绍等式原理、不等式原理，并通过具体例子，介绍它的用法。1.等式原理：nb为等比数列，公比为q,求：通项nb累积法：21bbq,32bbq,43bbq,……………,1nnbbq累积123411231nnnnbbbbbbbbbq，既11(2)nnbbqn，验证1n，成立。迭代法：2311231nnnnnbbqbqbqbq。2.不等式原理：已知：0,0nbq且1nnbbq，求证：11(1)nnbbqn累积法：21bbq,32bbq,43bbq,……………,1nnbbq累积123411231nnnnbbbbbbbbbq，既11(2)nnbbqn，验证1n，成立。迭代法：2311231nnnnnbbqbqbqbq3.应用例1：08安徽卷21设数列na满足3110,1,*nnaacacnN,其中c为实数。（Ⅰ）证明：0,1na对任意*nN成立的充分必要条件是0,1c,(Ⅱ)设103c,证明：113,*nnacnN;(Ⅲ)设103c,证明：*,312122221Nncnaaan【解析】（Ⅰ）略(Ⅱ)迭代法：设103c，当1n时，10a，结论成立；当2n时，∵311nnacac，∴3211111(1)(1)(1)nnnnnacacaaa.∵103c，由（Ⅰ）知10,1na，∴21113nnaa且10na，∴21112113(1)(3)(1)(3)(1)(3)nnnnnacacacac，∴113,*nnacnN.累积法：113(1)nnaca，1213(1)nnaca，…………2113(1)aca累积1111(3)(1)(3)nnnacac∴113,2nnacn，验证对n=1成立(Ⅲ)略例2：08浙江22．（本题14分）已知数列na，0na≥，10a，22*111()nnnaaanN．记：12nnSaaa，112121111(1)(1)(1)(1)(1)nnTaaaaaa．求证：当*nN时，（Ⅰ）1nnaa；（Ⅱ）2nSn；（Ⅲ）3nT（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．略（Ⅱ）证明：累加。略（Ⅲ）证明：（累积法）由221112kkkkaaaa≥，得111(2313)12kkkaknnaa≤，，，，≥累积，得所以23421(3)(1)(1)(1)2nnnanaaaa≤≥，于是2222232211(3)(1)(1)(1)2()22nnnnnnaanaaaaa≤≥，故当3n≥时，21111322nnT，又因为123TTT，所以3nT．例3：08株洲二检21、（本小题满分14分）已知函数)(xf的定义域为]1,0[，且同时满足：对任意]1,0[x，总有2)(xf，3)1(f；若01x，02x且121xx，则有2)()()(2121xfxfxxf．（1）求)0(f的值；（2）试求)(xf的最大值；（3）设数列}{na的前n项和为nS，且满足*)3(21,11NnaSann，求证：121321223)()()(nnnafafaf解：（1）(0)2f略…………………3分（2）()fx的最大值为3)1(f略………………6分（3）由*)3(21,11NnaSann2)3(2111naSnn又由)2(1nSSannn)2(311naann数列}{na为首项为1，公比为31的等比数列，131nna…………………8分当1n时，1113212233)1()(faf，不等式成立，当2n时，)31()(2faf4)31(32)3131()31()313131()1(fffff，37)31(f12211731()()(1)()32233223fafaff不等式成立假设(2)nkk时，不等式成立。即121321223)()()(kkkafafaf则当1kn时，4)31(3)313131()31()(11111kkkkkkfffaf34)31(31)31(1kkff,4,3,2,134)31(31)31(1kffkk11121111411444()()()33333333372122333kkkkkkkfffkkkkkkafafaf321)1(223312321223)()()(1121即kn时，不等式成立故对*Nn，原不等式成立。………………14分