中档大题保分练(六)(推荐时间：50分钟)1．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，直线AB的倾斜角为，|OB|＝2，设∠AOB＝θ，θ∈.(1)用θ表示点B的坐标及|OA|；(2)若tanθ＝－，求OA·OB的值．解(1)由题意，可得点B的坐标为(2cosθ，2sinθ)．在△ABO中，|OB|＝2，∠BAO＝，∠B＝π－－θ＝－θ.由正弦定理，得＝，即|OA|＝2sin.(2)由(1)，得OA·OB＝|OA|·|OB|·cosθ＝4sincosθ.因为tanθ＝－，θ∈，所以sinθ＝，cosθ＝－.又sin＝sincosθ－cossinθ＝×－×＝，故OA·OB＝4××＝－.2．如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是正三角形，侧面ABB1A1是菱形，且∠A1AB＝60°，M是A1B1的中点，MB⊥AC.(1)求证：MB⊥平面ABC；(2)求二面角A1－BB1－C的余弦值．(1)证明∵侧面ABB1A1是菱形，且∠A1AB＝60°，∴△A1BB1为正三角形，又∵点M为A1B1的中点，∴BM⊥A1B1，∵AB∥A1B1，∴BM⊥AB，由已知MB⊥AC，又AC∩AB＝A，∴MB⊥平面ABC.(2)解如图建立空间直角坐标系，设菱形ABB1A1边长为2，得B1(0，－1，)，A(0,2,0)，C(，1,0)，A1(0,1，)．则BA1＝(0,1，)，BA＝(0,2,0)，BB1＝(0，－1，)，BC＝(，1,0)．设面ABB1A1的法向量n1＝(x1，y1，z1)，由n1⊥BA，n1⊥BA1得，令x1＝1，得n1＝(1,0,0)．设面BB1C1C的法向量n2＝(x2，y2，z2)，由n2⊥BB1，n2⊥BC得令y2＝，得n2＝(－1，，1)，得cos〈n1，n2〉＝＝＝－.又二面角A1－BB1－C为锐角，所以所求二面角的余弦值为.3．某班体育课进行篮球投篮比赛，比赛规则如下：每位同学有4次投篮机会，其中一次在三分线外投篮，投中得3分，不中不得分，其余3次在罚球线外投篮，每投中一次得1分，不中不得分，已知某位同学在三分线外投篮命中的概率为，且在比赛中得6分的概率为.(1)求该同学在罚球线外投篮命中的概率；(2)求该同学参加比赛所得分数X的分布列及数学期望．解(1)设该同学在罚球线外投篮命中的概率为p，在比赛中得6分需4次投篮全中，则·p3＝，解得p＝.(2)X的可能取值有0,1,2,3,4,5,6，则P(X＝0)＝·3＝；P(X＝1)＝·C··2＝；P(X＝2)＝·C·2·＝；P(X＝3)＝·3＋·3＝；P(X＝4)＝·C··2＝；P(X＝5)＝·C·2·＝；P(X＝6)＝×3＝.所以所求分布列为X0123456P数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝.4．已知等比数列{an}满足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝an＋log2，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn－2n＋1＋47<0成立的正整数n的最小值．解(1)设等比数列{an}的公比为q.由得由①，得q2－3q＋2＝0，解得q＝1或q＝2.当q＝1时，不合题意舍去；当q＝2时，代入②，得a1＝2.则an＝2·2n－1＝2n.(2)因为bn＝an＋log2＝2n＋log2＝2n－n，所以Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n－n＝(2＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n)＝－＝2n＋1－2－n－n2.因为Sn－2n＋1＋47<0，所以2n＋1－2－n－n2－2n＋1＋47<0，即n2＋n－90>0，解得n>9或n<－10.又n∈N*，故使Sn－2n＋1＋47<0成立的正整数n的最小值为10.
