探讨“类双曲线中的面积定值问题”（一）三角形的面积定值（2014福建省高考）19.（本小题满分13分）已知双曲线的两条渐近线分别为.（1）求双曲线的离心率；（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由。解：（1）双曲线E的离心率e＝＝＝（2）假设存在满足条件的双曲线E，可设：上的任一点M，则过点M的切线方程，设动直线分别交直线于,两点所以，即①，即②由①②得，又所以而＝2＝8，即：所以故双曲线E的方程为优点回避讨论切线的斜率k是否存在，又简化计算扩展思考（逆向设问）：如图，为坐标原点，双曲线E的方程为的任意一点Ｍ的切线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），试探究：的面积是否恒为定值，若存在，求出定值；若不存在，说明理由扩展思考（类比推理）为坐标原点，函数上任意一点的切线分别交x轴，y轴于A，B两点，求证：的面积恒为定值2扩展思考（逆向设问）：如图，为坐标原点，已知函数的图像上第一象限内任意一点Ｍ的切线分别交y轴与直线于两点，试探究：的面积是否恒为定值，若存在，求出定值；若不存在，说明理由解：假定的面积恒为定值设切点M,则切线l的方程，即：令得，故得函数图像与y轴交点A令，即，解得，故得函数图像与直线交于点，所以|OA|，故＝＝２k所以，的面积恒为定值2k。（二）平行四边形的面积定值例题1（选修4—4，第31页）设M为双曲线上的任意一点，O为原点，过点M作双曲线两渐近线的平行线，分别于两渐近线交于A，B两点。探求平行四边形MAOB的面积，由此可以发现什么结论？类比例题2.设M为函数上任意一点M，为坐标原点，过点M作直线垂直于x轴，y轴于A，B两点，求证：四边形MAOB的面积恒为定值2扩展例题3.设点M为函数的图像上第一象限内任意一点，为坐标原点，过点M分别作平行于y轴和直线l：，分别与y轴和直线l交于A，B两点，求证：四边形MAOB的面积恒为定值2
