离散型随机变量的均值方差VIP免费

第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布（理）一、均值1．一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…Pn则称E(X)＝为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的．x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn平均水平2．若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝.3．①若X服从两点分布，则E(X)＝；②若X～B(n，p)，则E(X)＝.aE(X)＋bnpp二、方差1．设离散型随机变量X的分布列为则描述了xi(i＝1,2，……，n)相对于平均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的．称D(X)为随机变量X的方差，其为随机变量X的标准差．Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(xi－E(X))2平均偏离程度(xi－E(X))2pi算术平方根2．D(aX＋b)＝．3．若X服从两点分布，则D(X)＝．a2D(X)4．若X～B(n，p)，则D(X)＝．p(1－p)np(1－p)随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？提示：随机变量的均值、方差是一个常数，样本均值，方差是一个随机变量，随观测次数的增加或样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差.三、正态分布1．我们称φμ，σ(x)＝的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．2．一般地，如果对于任何实数a＜b，随机变量X满足，则称X的分布为正态分布，正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．3．正态曲线的特点：(1)曲线位于x轴，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线对称；(3)曲线在处达到峰值；(4)曲线与x轴之间的面积为；(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“”，表示总体的分布越．上方x＝μx＝μ瘦高矮胖分散11．设X～B(n，p)，若E(X)＝12，D(X)＝4，则n，p的值分别为()A．18和B．16和C．20和D．15和解析：答案：A2．如图是当σ取三个不同值σ1、σ2、σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1、σ2、σ3的大小关系是()A．σ1>1＞σ2>σ3>0B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>1>σ3>0D．0<σ1<σ2＝1<σ3解析：由正态曲线知0<σ1<σ2＝1<σ3.答案：D3．已知X的分布列为，设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为()A.B．4C．－1D．1X012P解析：E(X)＝E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝答案：A4．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为________．解析：由正态曲线的对称性知X在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同．∴X在(0,2)内取值的概率为0.4＋0.4＝0.8.答案：0.85．随机变量X的分布列如下：其中a，b，c成等差数列．若E(X)＝，则D(X)的值是______．X－101Pabc解析：a＋b＋c＝1.又 2b＝a＋c，故b＝由E(X)＝故a＝D(X)＝答案：11,33ac,得对随机变量X的均值(期望)的理解：(1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义上的平均；(2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，也就是说随机变量X可以取不同的值，而E(X)是不变的，它描述的是X取值的平均状态；(3)E(X)的公式直接给出了E(X)的求法．(2010·衡阳模拟)一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有n件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子)，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品．(1)若这箱产品被用户接收的概率是，求n的值；(2)在(1)的条件下，记抽检的产品件数为X，求X的分布列和数学期望．（1）利用古典概型易求.（2）X的取值为1、2、3，求出分布列代入期望公式.【解】(1)设“这箱产品被用户接收”为事件A，∴n＝2.(2)X的可能取值为1,2,3.P(A)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=∴X的概率分布列为：X123P1828109()123.5454545EX1．(2010·河南六市联考)甲、乙、丙、丁四人参加一家公司的招聘面试．公司规定面试合格者可签约．甲、乙面试合格就签约；丙、丁面试都合格则一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是，且面...