第 6 讲 空间向量及其运算一、选择题1．以下四个命题中正确的是 ( )．A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向量的另一组基底C．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB·AC＝0D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析 若 a＋b、b＋c、c＋a 为共面向量，则 a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，μ 不可能同时为 1，设 μ≠1，则 a＝b＋c，则a、b、c 为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾．答案 B2．若向量 a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则 x＝ ( )．A．－4 B．－2 C．4 D．2解析 a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)．∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2
答案 D3．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( )．A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}解析 若 c、a＋b、a－b 共面，则 c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则 a、b、c 为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故 c，a＋b，a－b 可构成空间向量的一组基底．答案 C4
如图所示，已知空间四边形 OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则 cos〈OA，BC〉的值为 ( )．A．0 B
解析 设OA＝a，OB＝b，OC＝c，由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，OA·BC＝a·(c－b)＝a·c
