3第 3 节 极 坐 标 系 下 二 重 积 分 的 计 算在有些情形下，用极坐标来计算二重积分比较简便．3.1 利用极坐标计算二重积分设区域用极坐标表示为（看黑板图）．（参见图 3.2，其中称为小边界，称为大边界。）要计算用下面特殊分割和特殊取点计算上面二重积分。用一些射线常数、一些圆弧常数分割。设第 小块的极角、极角增量、极径、极径增量为，则。取点。则我 们 发 现 右 边 极 限 正 好 是 用 极 坐 标计 算 的 积 分。因此这就是用极坐标计算二重积分的公式。（刚好夹在射线之间；小边界和大边界的找法：，射线截得截线。）注意：用极坐标计算二重积分时，总是先对后对积分；用坐标关系，代 入 ， 并 且 面 积 元 素 多 一 个 因 子， 即． 18离 散 数 学 (2)若区域的小边界收归极点（图 3.3），则可表示为：，则有；(3)若极点包含在区域的内部（图 3.4），可表示为：，故有．有时或是边界的切线（看黑板图）。图3.3OAab图3.2OA1( ) a2( ) bD图3.4OA( ) D17第 1 章 集 合【例 3.1】 计算，其中分别为()(1) ；(2) ；(3) ．解 (1) ：为圆心在原点，半径为的上半圆域（图3.5）．其在极坐标系下表示为：，故．(2) ：为圆心在原点，半径为的右半圆域（图3.6）．其在极坐标系下可表示为：， 故．y图3.5xy图3.7Oxy图3.6Ox18离 散 数 学(3) ：为圆心在点处，半径为的圆的上半圆域（图 3.7）．极坐标系下可表示为，故，．【例 3.2】 求，其中是由，，，所围的位于第一象限部分的闭区域．解 边界曲线在极坐标系下的方程为：，，，．求边界曲线的交点．由，，得，所以．区域的大有两个不一样的表示式，必须用射线将区域分成两块（图 3.8）．;．方法总结：当边界的表示式不一致时，作适当分割。1Dy图3.8Ox2D17第 1 章 集 合【例 3.3】 计算，其中．解 函数在直角坐标系下无法直接积分．利用极坐标系，有，，故．现利用上述结论来求得积分：．设，，．则有（图 3.9），因，由积分的不等式性质，有，由上例可知，，故有，又因为，，所以，即．称为 Euler-Poisson 积分，其值为，这一结论在概率论等课程中有着重要的应用．注意：积不出来。方法总结：当积分区域的边界有圆弧，或被积函数有时，用极坐标计算二重积分特别简单。ay图3.9Ox2a18离 散 数 学（测）【例 3.4】 设平面上两定点间的距离为，动点到两定点的距离之积为，...
