第 8 讲 立体几何中的向量方法（二）一、选择题1．两平行平面 α，β 分别经过坐标原点 O 和点 A(2,1,1)，且两平面的一个法向量 n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是( )A. B. C. D．3解析 两平面的一个单位法向量 n0＝，故两平面间的距离 d＝|OA·n0|＝.答案 B2 ． 已 知 向 量 m ， n 分 别 是 直 线 l 和 平 面 α 的 方 向 向 量 、 法 向 量 ， 若cos〈m，n〉＝－，则 l 与 α 所成的角为 ( )．A．30° B．60° C．120° D．150°解析 设 l 与 α 所成的角为 θ，则 sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，∴θ＝30°.答案 A3．长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E 为 CC1的中点，则异面直线 BC1与 AE 所成角的余弦值为 ( )．A. B. C. D.解析 建立坐标系如图，则 A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0，2,2)．BC1＝(－1,0,2)，AE＝(－1,2,1)，cos〈BC1，AE〉＝＝.所以异面直线 BC1与 AE 所成角的余弦值为.答案 B4．已知直二面角 αlβ，点 A∈α，AC⊥l，C 为垂足，点 B∈β，BD⊥l，D 为垂足，若 AB＝2，AC＝BD＝1，则 CD＝( )．A．2 B. C. D．1解析 如图，建立直角坐标系 Dxyz，由已知条件 B(0,0,1)，A(1，t,0)(t＞0)，由 AB＝2 解得 t＝.答案 C5．如图，在四面体 ABCD 中，AB＝1，AD＝2，BC＝3，CD＝2.∠ABC＝∠DCB＝，则二面角 A－BC－D 的大小为 ( )．A. B. C. D.解析 二面角 A－BC－D 的大小等于 AB 与 CD 所成角的大小.AD＝AB＋BC＋CD.而AD2＝AB2＋CD2＋BC2－2|AB|·|CD|·cos 〈AB，CD〉，即 12＝1＋4＋9－2×2cos〈AB，CD〉，∴cos〈AB，CD〉＝，∴AB 与 CD 所成角为，即二面角 A－BC－D 的大小为.故选 B.答案 B6．如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2.若二面角 B1－DC－C1的大小为 60°，则 AD 的长为( )A. B.C．2 D.解析 如图，以 C 为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，D(1,0,1)设 AD＝a，则 D 点坐标为(1,0，a)，＝(1,0，a)，＝(0,2,2)，设平面 B1CD 的一个法向量为 m＝(x，y，z)．则⇒，令 z＝－1，得 m ＝ (a,1 ， － 1) ， 又 平 面 C1DC 的 一 个 法 向 量 为n(0,1,0)，则由 cos60°＝，得＝，即 a＝，故 AD＝.答案 A二、填空题7...
