圆锥曲线的最值问题VIP免费

例 1 ： 已知抛物线 y2=4x ，以抛物线上两点 A(4,4) 、 B(1,-2) 的连线为底边的△ ABP ，其顶点P 在抛物线的弧 AB 上运动，求： △ ABP 的最大面积及此时点 P 的坐标。 动点在弧 AB 上运动，可以设出点 P 的坐标，只要求出点 P 到线段 AB 所在直线 AB 的最大距离即为点 P 到线段 AB 的最大距离，也就求出了△ ABP 的最大面积。 要使△ ABP 的面积最大，只要点 P 到直线 AB 的距离d 最大。设点 P( )y4y 2，解：由已知： |AB|=22)24()14(2x-y-4=0直线 AB ：* 解题过程如下：* 分析： d=54y2y 2528y2y 25291y2 ）（由已知：－ 2 ＜ y ＜ 4∴dmax=529此时， y=1, x = 41d 21AB = 2152953427∴ 点的坐标为 ( ，1 )41∴Smax= 我们可以连接 AB ，作平行 AB 的直线 L 与抛物线相切，求出直线 L 的方程，即可求出直线 L 与 AB 间的距离，从而求出△ ABP 面积的最大值和点 P 的坐标。分析：y2-2y+2m=0设直线 L 与抛物线 y2=4x 相切，直线 AB ： 2x-y-4=0直线 L 的方程为： 2x-y+m=0 （ * ）△=4-8m=0, m= 21此时， y=1,x= 41∴ 直线 L 的方程为： 2x-y+ =021两直线间的距离d=529另解：把（ * ）代入抛物线的方程得其他过程同上。 练习 1 ：在圆 x2+y2=4 上求一点 P ，使它到直线 L ： 3x-2y-16=0 的距离最短。224316略解： 圆心到直线 L 的距离 d1= 131316 所以圆上的点到直线的最短距离为 d=d1-r2131316思考： 练习 1 是否还有其他解题方法？问题：直线 L 的方程改为 3x-2y-6=0 ， 其结果又如何？另解：设平行于直线 L 且与圆相切的直线方程： 3x-2y+m=013x2+6mx+m2-16=0 直线与圆相切∴△=36 m2-52(m2-16)=0 m=±132∴m2=52 ，代入圆 x2+y2=4 整理得： 三解：用圆的参数方程去解。设点 P 为圆 x2+y2=4 上的任意点，则点 P （ 2cosθ,2sinθ ）（ 0≤θ ＜ 2π ）点 P （ 2cosθ,2sinθ ）到直线 L 的距离1316)cos(132136sin4cos6d21313161313216dmin21313161313216dmin∴ 圆上的点到直线的最短距离即为两平行直线间的距离 例 2 ： 如图，由椭圆的定义：椭圆上的点到两个定点之间的距离为定值|MF|+|MF’|=10|MF|+|MA|=10- |MF’|+|MA|=10+ (|MA|-|MF’|)≤10+ |AF’|因此，当 |AF’| 最大时...