§4 不等式 真题热身 1．(2011·上海)若 a，b∈R，且 ab>0，则下列不等式中，恒成 立的有________(填序号)． ①a2＋b2>2ab；②a＋b≥2 ab；③1a＋1b> 2ab；④ba＋ab≥2
解析 a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴①错误． 对于②③，当 a0，b>0，a＋b＝2，则 y＝1a＋4b的 最小值为________． 解析 a＋b＝2，∴a＋b2 ＝1
∴1a＋4b＝(1a＋4b)(a＋b2 )＝52＋(2ab ＋ b2a)≥52＋22ab · b2a＝92 (当且仅当2ab ＝ b2a，即 b＝2a 时，“＝”成立)， 故 y＝1a＋4b的最小值为92
92 3．(2011·天津改编)设变量 x，y 满足约束条件 x≥1，x＋y－4≤0，x－3y＋4≤0， 则目标函数 z＝3x－y 的最大值为______． 解析 x≥1，x＋y－4≤0，x－3y＋4≤0表示的 平面区域如图所示． z＝3x－y 在(2,2)取得最大值． zmax＝3×2－2＝4
44．(2011·浙江)若实数 x，y 满足 x2＋y2＋xy＝1，则 x＋y 的最 大值是________． 解析 由 x2＋y2＋xy＝1，得 1＝(x＋y)2－xy， ∴(x＋y)2＝1＋xy≤1＋(x＋y)24， 解得－2 33 ≤x＋y≤2 33 ， ∴x＋y 的最大值为2 33
2 33 考点整合 1．不等式的性质 (1)同向不等式可以相加，异向不等式可以相减：若 a>b，c>d，则 a＋c>b＋d(若 a>b，cb－d)； (2)左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，异向不等式可以相除：若 a>b>0，c>d>0，则 ac>bd(若 a>b>0,0b>0，则 an>bn或n a>n b； (4)若 ab>0，a>b，则1a1b； (5)a2
