第 三 节直线、圆与圆的位置关系及空间直角坐标系 重点难点 重点：直线与圆的位置关系，圆的切线方程和弦长问题． 难点：圆的综合问题的解题思路． 知识归纳 一、直线与圆的位置关系 1．直线 l：Ax＋By＋C＝0 与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系： (1)几何方法：圆心(a，b)到直线 Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2， dr⇔ 直线与圆 . 相交 相切 相离 (2)代数方法 ：由 Ax＋By＋C＝0x－a2＋y－b2＝r2消元得到的一元二次方程的判别式为 Δ，则 Δ>0⇔ 直线与圆 ；Δ＝0⇔ 直线与圆 ； Δ<0⇔ 直线与圆 . 相交 相切 相离 2．圆的切线 (1)求过圆上的一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率 k，再由垂直关系知切线斜率为－1k，由点斜式方程可求得切线方程．如果 k＝0 或 k 不存在，则可直接得切线方程为 y＝y0 或 x＝x0. (2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程： ①几何方法：设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，即 kx－y－kx0＋y0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k. ②代数方法：设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，即 y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于 x 的一元二次方程，由 Δ＝0，可求得 k. 经过圆上一点的圆的切线有且仅有一条； 经过圆外一点 P(x0，y0)的圆的切线有两条，因此用点斜式或斜截式直线方程求切线时，若有两解，则所求两条切线方程可得，若仅有一解，则另一条必为 x＝x0. (3)从圆外一点 P(x1，y1)引到圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 的切线，则点 P 到切点的切线长 d＝x21＋y21＋Dx1＋Ey1＋F. 3．直线被圆截得的弦长： (1)几何方法：运用弦心距 d、半径 r 及弦的一半构成直角三角形，计算弦长|AB|＝2· r2－d2. (2)代数方法：运用韦达定理求弦长 |AB|＝[xA＋xB2－4xA·xB]1＋k2. 二、圆与圆的位置关系 1．用几何方法判断圆与圆的位置关系 两 圆 (x－ a1)2＋ (y－ b1)2＝ r21(r1>0)与 (x－ a2)2＋ (y－b2)2＝r22(r2>0)的圆心距为 d，则 d>r1＋r2⇔ 两圆 ；d＝r1＋r2⇔ 两圆 ； |r1－r2|
