第 3 讲 随机变量及其概率分布 【高考真题感悟】 (2010·福建)设 S 是不等式 x2－x－6≤0 的解集，整数 m，n∈S. (1)记“使得 m＋n＝0 成立的有序数组(m，n)”为事件 A，试列举 A 包含的基本事件； (2)设 ξ＝m2，求 ξ 的概率分布及其数学期望 E(ξ)． 解 (1)由 x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，即 S＝{x|－2≤x≤3}． 由于 m，n∈Z，m，n∈S 且 m＋n＝0，所以 A 包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)． (2)由于 m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3， 所以 ξ＝m2的所有不同取值为 0,1,4,9， 且有 P(ξ＝0)＝16，P(ξ＝1)＝26＝13，P(ξ＝4)＝26＝13，P(ξ＝9)＝16. 故 ξ 的概率分布为 ξ 0 1 4 9 P 16 13 13 16 所以 E(ξ)＝0×16＋1×13＋4×13＋9×16＝196 . 考题分析 本题考查了基本事件的概念，考查了离散型随机变量的概率分布及其数学期望的计算．考查考生综合应用数学知识解决问题的能力． 易错提醒 (1)易忽略特例(0,0)这一基本事件． (2)搞不清 ξ 的所有可能值与 m 的所有可能值的关系．基本事件确定有误． (3)书写不规范，计算错误． 主干知识梳理 1．条件概率 在 A 发生的条件下 B 发生的概率： P(B|A)＝P(AB)P(A) . 2．相互独立事件同时发生的概率 P(AB)＝P(A)P(B)． 3．独立重复试验 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率为 Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 4．离散型随机变量的概率分布 (1)一般地，假定随机变量 X 有 n 个不同的取值，它们分别是 x1，x2，…，xn，且 P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n， ① 则称①为随机变量 X 的概率分布，简称为 X 的概率分布，也可以将①用下表的形式来表示. X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 我们将表称为随机变量 X 的概率分布表．它和①都叫做随机变量 X 的概率分布． (2)离散型随机变量 ξ 的概率分布具有两个性质：①pi≥0，②p1＋p2＋…＋pn＝1. 5．常见的离散型随机变量的分布 (1)两点分布 概率分布为(其中 0
