第 八 节曲线与方程 ( 理 ) 重点难点 重点：曲线与方程的概念及求曲线方程的步骤 难点：曲线的方程与方程的曲线概念的理解 知识归纳 1．曲线方程的定义 在直角坐标系中，如果曲线 C(看作适合某条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线 C 上；那么这个方程叫做曲线 C 的方程；这条曲线叫做方程的曲线． 2．求曲线方程的基本步骤： (1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点 M 的坐标； (2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 P＝{M|p(M)}； (3)用坐标表示条件 p(M)，列出方程 f(x，y)＝0； (4)化方程 f(x，y)＝0 为最简形式； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 3．由方程画曲线的步骤：①讨论曲线的对称性(关于x 轴、y 轴和原点)；②求曲线在两轴上的截距；③讨论曲线的范围；④列表、描点、画线． 4．交点与曲线系方程 求两曲线的交点，就是求这两条曲线方程组成的方程组的解． 过曲线 f1(x，y)＝0 和 f2(x，y)＝0 的交点的曲线系方程是 f1(x，y)＋λf2(x，y)＝0(λ∈R)(不包括 f2(x，y)＝0)． 5．常见的轨迹 (1)在平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是连结两定点的线段的垂直平分线． (2)平面内到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线． (3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，以定长为半径的圆． (4)平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是与这条直线平行的两条直线． (5) 平 面 内 到 两 定 点 F1 ， F2 距 离 之 和 为 定 值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹是以两定点为焦点，2a 为长轴长的椭圆． (6)平面内到两定点 F1，F2 距离差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹是以两定点为焦点，实轴长为2a 的双曲线． (7)平面内到定点和定直线距离相等(定点不在定直线上)的点的轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线． 误区警示 1．求曲线的方程注意以下三个问题： (1)要适当建立坐标系，在实际解题过程中，应充分利用图形的几何特性. 如中心对称图形、可利用它的对称中心作为坐标原点；轴对称图形，可以利用它的对称轴为坐标轴；条件中有直角、可考虑将两直角边作为坐标轴等等. (2)根据曲线上的点所满足的条件列出方程是最重要的一环. 应认真分析题设条件，综合利用平面...
