[读教材·填要点] 1．正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比 ，即： asin A＝ ＝ ＝2R； 其中 R 为 ． 相等bsin B csin C 三角形外接圆的半径2．三角形的面积公式 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则 S△ABC＝12absin C＝ ＝ . 12bcsin A 12acsin B [ 小问题 · 大思维 ]1 ．正弦定理对于任意的三角形都成立吗？提示：都成立．2 ．在△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，那么a∶b∶c ＝ A∶B∶C 对吗？提示：不对．根据正弦定理， a ＝ 2Rsin A ， b ＝2Rsin B ， c ＝ 2Rsin C ．所以 a∶b∶c ＝ sin A∶sin B∶sin C.[研一题] [例 1] 在△ABC 中， (1)若 A＝75°，B＝45°，c＝3 2，求 a，b； (2)若 a＝2，c＝ 6，C＝60°，求 A，B 和 b. [ 提示 ] (1) 由三角形内角和定理可求得 C ，进而运用正弦定理求 a ， b. (2) 先运用正弦定理求 sin A ，再用三角形的性质“大边对大角”确定角 A ，进而用三角形的内角和定理和正弦定理求 B ，b.[自主解答] (1)由三角形内角和定理，得 C＝180°－A－B＝60°. 由正弦定理得 b＝c·sin Bsin C ＝3 2·sin 45°sin 60°＝2 3. a＝c·sin Asin C ＝3 2sin 75°sin 60°＝2 6·sin 75°. 而 sin 75°＝sin(30°＋45°) ＝sin 30°·cos 45°＋cos 30°·sin 45° ＝ 2＋ 64 ∴a＝2 6× 2＋ 64＝3＋ 3. (2)由正弦定理得：sin A＝asin Cc＝2sin 60°6＝ 22 . c＝ 6>a＝2， ∴C＝60°>A. ∴A＝45°，B＝180°－(A＋C)＝75°. ∴b＝c·sin Bsin C ＝ 6·sin 75°sin 60° ＝ 3＋1. [ 悟一法 ] 1 ．把三角形的三个角和它们的对边叫作三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程，叫做解三角形． 2 ．应用正弦定理可解两类三角形 (1) 已知两角和任意一边，求第三个角和另外两边； (2) 已知两边和其中一边的对角，求第三边和另外两角．其中类型 (1) 只有一解，类型 (2) 可能有两解、一解或无解． 3 ．已知两边及其中一边的对角，判断三角形解的个数的方法 方法一：应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数． 方法二：在△ ABC 中，已知 a 、 b 和∠ A ，以点 C 为圆心，以边长 a 为半径画弧，此弧与除去顶点 A 的射线 AB的公共点的...
