§3 推理与证明 真题热身 1．(2011·陕西)观察下列等式 1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 … 照此规律，第 n 个等式为________________________． 解析 1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52， ∴第 n 个等式为 n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2. n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 2．(2009·浙江)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 S4，S8－ S4，S12－S8，S16－S12 成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn，则 T4，________，________，T16T12成等比数列． 解析 根据类比原理知该两空顺次应填T8T4，T12T8 . T8T4 T12T8 考点整合 1.主干网络 2.反证法 反证法体现了正难则反的思维方法，用反证法证明问题的一般步骤是： (1)分清问题的条件和结论； (2)假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定结论)； (3)从假定和条件出发，经过正确的推理，导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾)； (4)因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是“假设”错误．既然结论的反面不成立，从而证明了原结论成立(结论成立)． 3.数学归纳法 (1)当 n 取第一个值 n0(例如 n＝1)时，证明命题成立； (2)假设当 n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，并证明当 n＝k＋1 时，命题也成立．于是对一切 n∈N*，n≥n0，命题都成立．这种证明方法叫做数学归纳法． 运用数学归纳法证明命题要分为两步．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，这两步是缺一不可的． 分类突破 一、合情推理 例 1 (1)已知数列{an}为等差数列，若 am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N*)，则 am＋n＝nb－man－m .类比等差数列{an}的上述结论，对于等比数列{bn}(bn>0，n∈N*)，若 bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，则可以得到 bm＋n＝________. (2)设 f(x)＝1＋x1－x，又记 f1(x)＝f(x)，f(k＋1)(x)＝f[fk(x)]，k＝ 1,2，…，则 f2 009(x)等于 ( ) A．－1x B．x C．x－1x＋1 D．1＋x1－x 解析 (1)观察等差数列{an}的性质：am＋n＝nb－man－m ，则联想 nb－ma对应等比数列{bn}中的dncm，而{an}中除以(n－m)对应等比数列中开(n－m)次方． (2)计算 f2(x)＝f(1＋x1－x)＝1＋1＋x1－x1－1＋x1－x＝－1x， f3(x)＝f(－1x)＝1－1x1＋1x＝x－1x＋1，f4(x)＝1＋x－1x＋11－x－1x＋1＝x， f5(x)＝f1(x)＝1＋x1－x，归纳得 f...
