选修 4 － 1 几何证明选讲第 1 课时 相似三角形的进一步认识理解相似三角形的判定和性质定理 / 了解直角三角形的射影定理【命题预测】 利用三角形的定义和性质、平行切割定理、射影定理证明三角形的相似或求线段的长度、角的度数及线段的比．【应试对策】 1 ．比例线段的学习，需按由特殊到一般进行合情推理．平行线等分线段时，比值为 1 ，从这一特殊现象中，得到当比值不为 1 时的一般的结论．平行线分线段的定理和推论，我们可以由平面推广到空间，将平行线改为平行平面，也可以探究相应的命题是否成立．2 ．相似三角形的判断要考虑六个元素，即三组对应角是否相等，三组对应边是否成比例，从而发现出一些判断方法，在高中阶段要掌握其定理的严格证明．同时，相似是全等的一般化，可以结合三角形的全等学习相似问题．三角形相似的特殊情形是对直角三角形相似的研究．3 ．三角形相似的几个判定定理可简述为：角角、边角边、边边边．可对比全等，由全等的判定与性质等结论，猜想相似的判定与性质，并严格证明其猜想，结合图形，写出数学式，即把图形语言、符号语言、文字语言三者紧密结合．【知识拓展】 证相似三角形的思路证两个三角形相似，在已具备一角对应相等的条件时，往往先找是否有另一角对应相等，当此思路不通时，再找等角的两边对应成比例．1 ．平行截割定理(1) 平行线等分线段定理及其推论① 定理：如果一组 在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条 ( 与这组平行线相交的 ) 直线上截得的线段也相等．② 推论：经过梯形一腰的中点而 于底边的直线平分另一腰．(2) 平行截割定理及其推论① 定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段 ．② 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与原三角形的对应边 ．平行线平行成比例成比例(3) 三角形角平分线的性质三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的 。(4) 梯形的中位线定理梯形的中位线平行于 ，并且等于 。比 两底两底和的一半2 ．相似三角形(1) 相似三角形的判定① 判定定理a ． 对应相等的两个三角形相似．b ．两边 且夹角相等的两个三角形相似．c ．三边 的两个三角形相似．② 推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与 相似．③ 直角三角形相似的特殊判定斜边与一条 对应成比例的两个直角三角形相似．两角对应成比例对应成比例原三角形直角边(2)...
