用定义或判定定理证明线面垂直 【例 1 】如图，在四棱锥 P—ABCD中，PA⊥底面ABCD ， AB⊥AD ， AC⊥CD ，∠ ABC ＝ 60° ， PA ＝AB ＝ BC ， E 是 PC 的中点．证明：(1)CD⊥AE ；(2)PD⊥ 平面 ABE ； 【证明】 (1) 在四棱锥 P—ABCD 中，因为PA⊥ 底面 ABCD ， CD平面 ABCD ，故PA⊥CD
又因为 AC⊥CD ， PA∩AC ＝ A ，所以 CD⊥平面 PAC
而 AE平面 PAC ，所以 CD⊥AE
(2) 由 PA ＝ AB ＝ BC ，∠ ABC ＝ 60° ，得△ ABC 是等边三角形，故 AC ＝ PA
因为 E 是 PC 的中点，所以 AE⊥PC
由 (1) 知， AE⊥CD ，且 PC∩CD ＝ C ，所以 AE⊥ 平面 PCD
而 PD平面 PCD ，所以 AE⊥PD
又因为 PA⊥ 底面 ABCD ，所以 PA⊥AB
由已知得 AB⊥AD ，且 PA∩AD ＝ A ，所以AB⊥ 平面 PAD
又 PD平面 PAD ，所以 AB⊥PD
因为 AB∩AE ＝ A ，所以 PD⊥ 平面 ABE
本题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力．立体几何的证明关键是学会分析和掌握一些常规的证明方法．如：已知中点证明垂直时要首先考虑等腰三角形中的“三线合一”；已知线段或角度等数量关系较多时最好标示出来，充分进行计算，从而发现蕴含的垂直等关系；已知线面垂直时会有哪些结论，是选择线线垂直还是选择面面垂直；要证明结论或要得到哪个结论，就必须满足什么条件等． 【变式练习 1 】如图， E ， F 分别为直角三角形 ABC 的直角 边 AC 和 斜 边 AB 的 中 点 ， 沿 EF 将△ AEF 折起到△ A1EF 的位置，连结 A1B ，A1C
