一、定义 设函数 y=f(x) 定义域为 A, 值域为 C
如果从式子 y=f(x) 解得 x=(y), 且对于 y 在 C 中的任何一个值 , x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应 , 那么式子 x=(y) 就表示 x 是变量 y 的函数 , 把 x=(y) 叫做函数 y=f(x) 的反函数 , 记作 : x=(y)=f-1(y)
x=f-1(y) 一般改写成 y=f-1(x), 其定义域为 C, 值域为 A
二、定义理解1
函数存在反函数的条件 : 映射 f: A→C 为一一映射
函数在其定义域区间上可能不存在反函数 , 但可以在定义域区间的某个子区间上存在反函数
反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域
注意 : 反函数的定义域不能由其解析式来求
三、简单性质1
互为反函数的两个函数的图像关于直线 y=x 对称 ; 2
单调函数一定存在反函数 , 但有反函数的函数不一定是单调函数 ;3
奇函数不一定有反函数 , 偶函数在一般情况下无反函数 ; 4
互为反函数的两个函数在各自的定义域区间上具有相同的 单调性 ;5
若 b=f(a), 则 a=f-1(b); 若 a=f-1(b), 则 b=f(a), 即 : 若 a∈A, b∈C, 则 f-1[f(a)]=a, f[f-1(b)]=b
四、求函数的反函数的步骤2
由 y=f(x) 解出 x=f-1(y) ( 即用 y 表示 x);3
交换 x=f-1(y) 中的字母 x, y, 得 f(x) 反函数的表达式 y=f-1(x), 1
求函数 y=f(x) 中 y 的取值范围 , 得其反函数中 x 的取值范围 ;五、函数与其反函数图像的交点问题 如果一个函数与其反函数的图像有公共点 , 则公共点在直线 y=x 上 , 或者关于直线 y=x 对称地成对出现
