第二次数学危机第二次数学危机，指发生在十七、十八世纪，围绕微积分诞生初期的基础定义展开的一场争论，这场危机最终完善了微积分的定义和与实数相关的理论系统，同时基本解决了第一次数学危机的关于无穷计算的连续性的问题，并且将微积分的应用推向了所有与数学相关的学科中
一、危机背景芝诺悖论这次危机的萌芽出现在大约公元前 450 年，芝诺注意到由于对无限性的理解问题而产生的矛盾，提出了关于时空的有限与无限的四个悖论：“两分法”：向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点，然而要经过这点，又必须先经过路程的 1/4 点……，如此类推以至无穷
——结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动是不可能的
“阿基里斯追不上乌龟”：阿基里斯总是首先必须到达乌龟的出发点，因而乌龟必定总是跑在前头
这个论点同两分法悖论一样，所不同的是不必把所需通过的路程一再平分
“飞矢不动”：意思是箭在运动过程中的任一瞬时间必在一确定位置上，因而是静止的，所以箭就不能处于运动状态
“操场或游行队伍”：A、B 两件物体以等速向相反方向运动
从静止的 c 来看，比如说A、B 都在 1 小时内移动了 2 公里，可是从 A 看来，则 B 在 1 小时内就移动了 4 公里
运动是矛盾的，所以运动是不可能的
芝诺揭示的矛盾是深刻而复杂的
前两个悖论诘难了关于时间和空间无限可分，因而运动是连续的观点，后两个悖论诘难了时间和空间不能无限可分，因而运动是间断的观点
芝诺悖论的提出可能有更深刻的背景，不一定是专门针对数学的，但是它们在数学王国中却掀起了一场轩然大被
它们说明了希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾，但他们无法解决这些矛盾
其后果是，希腊几何证明中从此就排除了无穷小
微积分的出现经过许多人多年的努力，终于在 17 世纪晚期，形成了无穷小演算——微积分这门学科
牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者，他们的功绩主要在于：把各
