卡方分布一、 卡方分布的定义：若 n 个相互独立的随机变量ξ 1，ξ 2，⋯， ξ n ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n 个服从标准正态分布的随机变量的平方和∑ξ i ∧2 构成一新的随机变量，其分布规律称为χ 2(n) 分布（ chi-square distribution），其中参数 n 称为自由度。二、 卡方分布的性质 ：: （1） (可加性 ) 设iY ~且相互独立，则,,,1,,2kiiin这里.,iinn（2）,)(2,nEn.42)(2,nV a rn证明（1）根据定义易得。（2）设则依定义，,~2,nY可表示为Y其中且相互独立，于是),1,(~,1,,1),1,0(~NXniNXni因为代入（ 1），第一条结论可得证。直接计算可得于是代入（2）便证明了第二条结论。三、卡方分布的概率密度函数：其中 Dx 为 n 维 x 空间内由不等式zxxn221所定的区域。即， Dz 为 n 维 x 空间内以坐标原点为球心、z 为半径的球面所围成的区域（边界不在内）可以利用极坐标来计算这积分。令与这变换相应的函数行列式为：其中括号和都表示1,,1n 的函数。因此。当z>0 时，C是常数。为了定出C, 在上述等式的两端令,r得到从而，在分母内的积分中令221 r，即，用212r作代换，那么，这个积分等于222212212012122121021-nnddnnnnn因此，222122nCnn从而，当z>0 时，即，2 的密度函数为称这个密度函数所定的分布为自由度为n 的2 分布，记作2）（n。它的图像如下：图（一）2 分布密度函数图四、卡方分布的累积分布函数为：22,2kxkxFk，其中 γ (k,z) 为不完全 Gamma函数。其图像如下：图（二）2 分布的分布函数图五、 卡方分布的特征函数及其推导：特征函数：ψ (t)（） = f(x)dx =dx =六、 论证过程中的心得体会：首先通过对卡方的研究和证明，提高了我们对数学的兴趣。 其次，通过这次的推导和搜索资料进行分析， 大大提高了我们的独立思考的能力，我们当中很多同学之前都很害怕类似的证明题，这一次的合力解决难题使我们信心倍增。当然同时， 这个合作锻炼了我们团队合作的能力，分工合作解决问题， 有的人负责收集资料，有点人负责推导公式，有的人负责输入文章，整理公式，等等。这让大家明白了团结的力量。做出合理的时间安排，做任何事情，合理的时间安排非常重要，多元课程设计也是一样，事先要做好一个规划，课程设计一共分5 个板块（定义，性质，特征函数，密度函数，分布函数，心得体会）。你每天要做完哪几个板块事先要确定好，这样做才会使自...
