2.2.3向量数乘运算及其几何意义（教学设计）一、知识与能力：1、理解掌握向量数乘运算及其几何意义，数乘运算的运算律，并能熟练运用定义、运算律进行有关计算。2、理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。3、通过向量数乘运算的学习和探究，培养学生的观察、分析、归纳、抽象思维能力，以及运算能力和逻辑推理能力。二、过程与方法：1． 经历向量加法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程；2．体会数形结合的数学思想方法. 三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题．教学重点 : 实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件．教学难点 : 向量共线的充要条件．一、复习回顾，新课导入探究： 已知非零向量a，作出 a+a+a 和(-a)+(-a)+(-a) ，并说明它们的几何意义 . 类似数的乘法，把a+a+a 记作 3a，显然 3a 的方向与a 的方向相同， 3a 的长度是a 的 3倍，即 |3a|=3|a|. 同样， ( -a)+( -a)+( -a)=3( -a) ，显然 3( -a) 的方向与 a 的方向相反， 3( -a) 的长度是 a 的 3 倍，这样 3( -a) =-3a. 由学生作图，归纳几何意义，教师补充完善，引出本节课所学的内容。二、师生互动，新课讲解1．定义：实数与向量 a 的积是一个向量，称为向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：（ 1）|a|=||| a| ；（ 2）当>0 时， a 的方向与向量a 的方向相同；当<0 时，a 的方向与 a 的方向相反 . 2． 特别地，当=0 或 a=0 时，a=0；当=-1 时， (-1)a=- a，就是 a 的相反向量 . 3． 实数与向量的积的运算律设 、 为实数，那么（1） (a) =( ) a；（结合律）（2）(+ ) a= a+ a；（第一分配律）（3） (a+b) =a+ b. （第二分配律）结合律证明：如果λ=0，μ=0， a =0 至少有一个成立，则①式成立如果λ0，μ 0， a0 有： | λ ( μ a )|=|λ || μa |=| λ || μ|| a | |( λ μ) a|=| λ μ|| a |=| λ || μ|| a | ∴| λ ( μa )|=|(λ μ )a | 如果λ 、 μ 同号，则①式两端向量的方向都与a 同向；如果λ 、 μ 异号，则①式两端向量的方向都与a 反向。从而λ( μa )=(λ μ )a第一分配律证明：如果λ=0，μ=0， a =0 至少有一个成立，则②式显然成立如果λ0， μ 0， a0当λ 、 μ 同号时，则λa 和 ...
