第二讲 证明不等式的基本方法2 ． 3 反证法与放缩法 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接反证法证明不等式 已知 a，b，c∈(0，1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不能同时大于14
分析：“不能同时”包含情况较多，而其否定“同时大于”仅有一种情况，因此用反证法． 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接证明：证法一 假设三式同时大于14， 即有(1－a)b＞14，(1－b)c＞14，(1－c)a＞14
三式同向相乘，得(1－a)a(1－b)b(1－c)c＞ 164
又(1－a)a≤1－a＋a22＝14， 同理，(1－b)b≤14，(1－c)c≤14， ∴(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤ 164，与假设矛盾． ∴(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不能同时大于14
学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接证法二 假设三式同时大于14
0＜a＜1，∴1－a＞0， （1－a）＋b2≥ （1－a）·b＞14＝12
同理（1－b）＋c2，（1－c）＋a2都大于12
三式相加，得32＞32，此式矛盾， ∴原命题成立． 点评：当证明的结论中含有“不是”“不都”“不存在”等词语时，适合应用反证法，因为此类问题的反面比较具体． 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接►变式训练 1．已知 0＜x＜2，0＜y＜2，0＜z＜2， 求证：x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不都大于 1
证明：证法一 假设 x(2－y)＞1，y(2－z)＞1，z(2－x)＞1 均成立， 则三式相乘得 xyz(2－x)(2－y)(2－z)＞1
① 因为 0＜x＜2， 所以 0＜x(2－x)＝ － x2＋2x＝ － (x－1)2＋1≤1， 同理，0＜y(2－y)≤1，0＜z(2－z)≤1， 学习目标 预习导学 典例精
