第二十四章 圆专题 33 切线的证明武汉专版 · 九年级上册一、有“公共点”连半径，证垂直1 ．如图，△ ABC 内接于⊙ O ，∠ CAE ＝∠ B ，求证： AE 与⊙ O 相切．2 ．如图，以△ ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心画圆，经过 A ， C 两点且与 BC 边交于点 E ，点 D 为 CE 的下半圆弧的中点，连接 AD 交线段 EO 于点 F ，若 AB ＝ BF. 求证： AB 是⊙ O 的切线 . 【解析】作直径 AD ，连接 CD ，∴∠ D ＋∠ DAC ＝ 90°.B ∠ ＝∠ D ，而∠ CAE ＝∠ B ，∴∠ CAE ＋∠ DAC ＝ 90° ，即∠ DAE ＝ 90° ，∴ OAAE. OA⊥ 为半径，∴ AE与⊙ O 相切．【解析】连接 OA ， OD ， 点 D 为 CE 的下半圆弧的中点，∴ ODBC⊥，∴∠ EOD ＝ 90°. AB ＝ BF ， OA ＝ OD ，∴∠ BAF ＝∠ BFA ，∠ OAD ＝∠ D.而∠ BFA ＝∠ OFD ，∴∠ OAD ＋∠ BAF ＝∠ D ＋∠ OFD ＝ 90° ，即∠ OAB＝ 90° ，∴ OAAB. OA⊥ 为半径，∴ AB 是⊙ O 的切线 . 3 ．如图， P 是⊙ O 外一点， C 是⊙ O 上一点，割线 POB 与⊙ O 相交于点 A ， B ，连接 PC ，若 PA ＝ 2 ，PC ＝ 4 ， PB ＝ 8 ，求证： PC 是⊙ O 的切线．4 ．如图，⊙ O 经过菱形 ABCD 的三个顶点 A ， C ， D ，且与 AB 相切于点 A. 求证： BC 为⊙ O 的切线 . 【解析】连接 OC ， PA ＝ 2 ， PB ＝ 8 ，∴ AB ＝ 6 ，∴ OC ＝ OA ＝ OB ＝ 3 ，∴ OP ＝ 5 ，∴ OP2 ＝ OC2 ＋ CP2 ，∴∠ OCP ＝ 90°. OC 为半径，∴ PC 是⊙ O 的切线．【解析】连接 OA ， OB ， OC ， AB 与⊙ O 切于点 A ，∴ OAAB⊥，即∠ OAB ＝ 90°. 四边形 ABCD 为菱形，∴ BA ＝ BC ，∴△ ABOCBO(SSS)≌△，∴∠ BCO ＝∠ BAO ＝ 90° ，∴ OCBC. OC⊥ 为半径，∴ BC 为⊙ O 的切线．二、无“公共点”作垂直，证半径5 ．如图，△ ABC 是等边三角形， AO⊥BC ，垂足为 O ，⊙ O 与 AC 相切于点 D ， BE⊥AB 交 AC 的延长线于点 E ，与⊙ O 相交于 G ， F 两点．(1) 求证： AB 与⊙ O 相切；(2) 若等边三角形 ABC 的边长是 4 ，求线段 BF 的长 . 【解析】(1)过点 O 作 OM⊥AB 于点 M. ⊙O...
