•第 3 课时 空间向量与空间角•1 ．理解直线与平面所成角的概念．•2 ．能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角求法问题．•3 ．体会空间向量解决立体几何问题的三步曲 . •1 ．向量法求解线线、线面、面面的夹角． ( 重点 )•2 ．线线、线面、面面的夹角与向量的应用． ( 难点 ) •1. 山体滑坡是一种常见的自然灾害．甲、乙两名科技人员为了测量一个山体的倾斜程度，甲站在水平地面上的 A 处，乙站在山坡斜面上的 B 处，从 A 、 B 两点到直线 l( 水平地面与山坡的交线 ) 的距离 AC 和 BD 分别为 30 m 和 40 m ， CD的长为 60 m ， AB 的长为 80 m.•水平地面与山坡斜面所成二面角的 余弦值是多少？•2 ．空间角角的分类定义范围异面直线所成的角设 a ， b 是两条异面直线，过空间任一点 O 作 a′∥a ， b′∥b ，则 a′ 与 b′ 所夹的锐角或直角叫做 a 与b 所成的角 .(0° ， 90°]直线与平面所成的角直线与它在这个平面内的射影所成的角 .[0° ， 90°]二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 .[0° ， 180°]•空间角的向量求法 角的分类 向量求法 图形 异面直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a，b， 则cos θ＝|cos〈a·b〉|＝|a·b||a||b| 直线与平面所成的角 设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sin φ＝ |cos〈a，n〉|＝|a·n||a||n| 角的分类 向量求法 图形 若 AB、CD 分别是二面角 α－l－β 的两个面内与棱 l 垂直的异面直线(垂足分别为 A、C)，则二面角的大小就是AB→与CD→ 的夹角cos θ＝cos〈AB→，CD→ 〉＝ AB→·CD→|AB→|·|CD→ | 二面角 设二面角 α－l－β 的平面角为 θ，平面 α、β 的法向量为 n1，n2，则|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉| ＝ |n1·n2||n1|·|n2| •1 ．若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 120° ，则直线 l 与平面 α 所成的角等于 ( )•A ． 120° B ． 60°•C ． 30° D ．以上均错•答案： C•2 ．设 ABCD ， ABEF 都是边长为 1 的正方形， FA⊥ 面ABCD ，则异面直线 AC 与 BF 所成角等于 ( )•A ． 45° B ． 30°•C ． 90° D ． 60°•解析： 建立如图所示的空...
