四边支承矩形薄板自振频率计算1. 基本假定及振动微分方程弹性板是假定其厚度远小于其他两尺寸的板，且材料假设为各向同性。板的振动理论是以以下几个假定为基础的：1）板中原来在中面法线上的各点，在板弯曲变形后仍在中面的法线上。这个假设称为直法线假设，表示横向剪切变形忽略不计。2）板的挠度比板厚小很多，板弯曲时中面不产生变形，即中面为中性面。3）板的横向正应力与其他两个方向正应力相比较，可以忽略不计。在此基础上，若假定板的挠度不从平面位置算起，而从平衡位置算起，对板内平行六面体进行微元分析，由平衡条件、变形协调条件和物理方程得板的弯曲平衡方程式，然后分析板在振动过程中的动力平衡，可得板的自由振动微分方程[1]：02222244444twmyxwDywDxwD（1）等式中)1(1223EhD，式中：m为板的单位面积的质量；D 为板的弯曲刚度, E ,分别为板的弹性模量和泊松比，h 为板的厚度。微分方程 (1)的解答形式为薄板上每一点),(yx的挠度),()sincos(1yxWtBtAwmmmmmm。被表示成无数多个简谐振动下的挠度相叠加，而每一个简谐振动的圆频率是m 。另一方面， 薄板在每一瞬时t 的挠度，则表示成为无数多种振形下的挠度相叠加，而每一种振形下的挠度是由振形函数),(yxWm表示的，为求出各种振形下的振形函数mW ，以及与之相应的圆频率m ，我们取),()sincos(yxWtBtAw代入方程（ 1）消除因子)sincos(tBtA得到振形微分方程：0222244444WmyxWDyWDxWD(2) 2. 边界条件振形函数需要满足各边界条件，板的边界一般有固支边，简支边， 自由边三种情况， 这里以 x=0 的边为例，其相应的边界条件为：固定边：沿固定边的位移和转角为0，即0)(0xW，0)(0xxW；简支边：沿简支边的位移和弯矩为0，即0)(0xW，0)(022xxW；自由边：沿自由边的弯矩和剪力为0，即0)(02222xyWxW，0))2((02333xyxWxW对于四边支承板有如下6 中不同边界条件：（a）（ b）（c）（d）（e）（f）一般而言，假定合适的位移函数，利用边界条件可以求解上述微分方程。对于四边简支矩形板板，一对边简支，另两边任意的矩形板，可以采用C.L.Navier 的重三角级数和M.Levy 的单三角级数经典解法，但代数运算和数值计算都比较繁琐。在工程应用时仍然不是很方便。由于最低自振频率对应的振形比较易于假定。因此能量法在工程中经常用来计算最低自振频率值。本文采用能量法推导出不同边界条件下最低自振频率计算公式。3.能量法能量法是由D.C.L.Rayleigh 提出的一个计算薄板最低自然...
