圆幂定理——老师用VIP专享VIP免费

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］ 1. 切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。 2. 切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补； （5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。3. 弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。直线 AB切⊙O 于 P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4. 弦切角定理： 弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。5. 弄清和圆有关的角： 圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。6. 遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。7. 与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相 交 弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于 P. PA· PB＝PC· PD. 连 结 AC、 BD， 证 ：△APC∽△DPB. 相 交 弦定 理 的推论⊙O 中， AB 为直径，CD⊥AB于 P. PC2＝PA· PB. 用相交弦定理 . 切 割 线定理⊙O中，PT切⊙O 于 T，割线 PB交⊙O于 A PT2＝PA· PB连 结 TA、 TB， 证 ：△PTB∽△PAT切 割 线定 理 推论PB、PD为⊙O 的两条割线，交⊙O 于 A、C PA· PB＝PC· PD 过 P 作 PT切⊙O 于 T，用两次切割线定理圆 幂 定理⊙O中，割线 PB交⊙O于 A，CD为弦P'C· P'D ＝ r2 －OP'2PA· PB＝ OP2－r2r 为⊙O 的半径延长 P'O 交⊙O于 M，延长 OP'交⊙O 于 N，用相交弦定理证； 过 P作切线用切割线定理勾股定理证8. 圆幂定理： 过一定点 P 向⊙O 作任一直线，交⊙O 于两点，则自定点P 到两交点的两条线段之积为常数 || （R为圆半径），因为叫做点对于⊙O 的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。【典型例题】例1. 如图 1，正方形 ABCD的边长为 1，以 BC为直径。在正方形内作半圆O，过 A 作半圆切线，切点为 F，交 CD于 E，求 DE：AE的值。图1 解： 由切线长定理知： AF＝AB＝1，EF＝CE 设 CE为 x，在 Rt△ADE中，由勾股定理∴，，例2. ⊙O ...