切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段[学习目标] 1. 切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长度,“切线长”是切线上一条线段的长,具有数量的特征,而“切线”是一条直线,它不可以度量长度。 2. 切线长定理对于切线长定理,应明确(1)若已知圆的两条切线相交,则切线长相等;(2)若已知两条切线平行,则圆上两个切点的连线为直径;(3)经过圆外一点引圆的两条切线,连结两个切点可得到一个等腰三角形;(4)经过圆外一点引圆的两条切线,切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补; (5)圆外一点与圆心的连线,平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。3. 弦切角:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角。直线 AB切⊙O 于 P,PC、PD为弦,图中几个弦切角呢?(四个)4. 弦切角定理: 弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。5. 弄清和圆有关的角: 圆周角,圆心角,弦切角,圆内角,圆外角。6. 遇到圆的切线,可联想“角”弦切角,“线”切线的性质定理及切线长定理。7. 与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相 交 弦定理⊙O中,AB、CD为弦,交于 P. PA· PB=PC· PD. 连 结 AC、 BD, 证 :△APC∽△DPB. 相 交 弦定 理 的推论⊙O 中, AB 为直径,CD⊥AB于 P. PC2=PA· PB. 用相交弦定理 . 切 割 线定理⊙O中,PT切⊙O 于 T,割线 PB交⊙O于 A PT2=PA· PB连 结 TA、 TB, 证 :△PTB∽△PAT切 割 线定 理 推论PB、PD为⊙O 的两条割线,交⊙O 于 A、C PA· PB=PC· PD 过 P 作 PT切⊙O 于 T,用两次切割线定理圆 幂 定理⊙O中,割线 PB交⊙O于 A,CD为弦P'C· P'D = r2 -OP'2PA· PB= OP2-r2r 为⊙O 的半径延长 P'O 交⊙O于 M,延长 OP'交⊙O 于 N,用相交弦定理证; 过 P作切线用切割线定理勾股定理证8. 圆幂定理: 过一定点 P 向⊙O 作任一直线,交⊙O 于两点,则自定点P 到两交点的两条线段之积为常数 || (R为圆半径),因为叫做点对于⊙O 的幂,所以将上述定理统称为圆幂定理。【典型例题】例1. 如图 1,正方形 ABCD的边长为 1,以 BC为直径。在正方形内作半圆O,过 A 作半圆切线,切点为 F,交 CD于 E,求 DE:AE的值。图1 解: 由切线长定理知: AF=AB=1,EF=CE 设 CE为 x,在 Rt△ADE中,由勾股定理∴,,例2. ⊙O ...