1 / 11 圆锥曲线的第三定义及运用一、椭圆和双曲线的第三定义1.椭圆在椭圆2222C10xyabab：中， A、B 是关于原点对称的两点，P 是椭圆上异于A、B 的一点，若PAPBkk、存在，则有：222=1=PAPBbkkea证明：构造△ PAB 的 PA 边所对的中位线MO ， PAMOkk，由点差法结论：222=1=MOPBbkkea知此结论成立。2.双曲线在双曲线2222C1xyab：中，A、B 是关于原点对称的两点， P 是椭圆上异于A、B 的一点，若PAPBkk、存在，则有：222=1=PAPBbkkea证明：只需将椭圆中的2b 全部换成2b 就能将椭圆结论转换成双曲线的结论。2 / 11 二、与角度有关的问题例题一： 已知椭圆2222C10xyabab：的离心率32e，A、B 是椭圆的左右顶点，为椭圆与双曲线22178xy的一个交点，令PAB=APB=，，则cos=cos 2 .解答：令=PBx，由椭圆第三定义可知：21tantan =1=4ecoscoscos cossinsin1tantan3===cos 2coscos cossinsin1tantan5点评：其实所谓的双曲线方程只是一个障眼法，并不影响题目的解答。两顶点一动点的模型要很快的联想到第三定义，那么剩下的任务就是把题目中的角转化为两直线的倾斜角，把正余弦转化为正切。题目中的正余弦化正切是三角函数的常见考点☆。3 / 11 变式 1-1 ：（石室中学2015 级高二下 4 月 18 日周末作业）已知双曲线22C2015xy：的左右顶点分别为A、B ，P 为双曲线右支一点，且=4PABAPB ，求=PAB . 解答：令=02PAB，，=02PBA，，则=5，由双曲线的第三定义知：2tantan =tantan5 =1=1e则：1tan==tan5=5=tan52212点评：与例题 1 采取同样的思路转化角，但对于正切转换的要求较高。两锐角正切乘积为1 即表示 sin α=cos β ，cos α=sin β两角互余☆，则可解出α 的值。当然双曲线的题目较于椭圆和抛物线题目考试概率较小，但既然提到了双曲线的第三定义，不妨做一做。三、与均值定理有关的问题例题 2：已知 A、B 是椭圆222210xyabab长轴的两个端点，M 、 N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线 AM 、BN 的斜率分别为12kk、，且120k k。若12kk的最小值为 1，则椭圆的离心率为 . 4 / 11 解答一（第三定义 +均值）：由题意可作图如下：连接 MB ，由椭圆的第三定义可知：222=1=AMBMbkkea，而BMBNkk2122= bk ka12122132==1==22bbkkkkeaa解答二（特殊值法）：这道题由于表达式12min1kk非常对称， 则可直接猜特殊点求解。121==2kk时可取最值，则 M 、 N 分别为短轴的两端点。此时：1213===...
