定点线与抛物线相交问题引发的探究与思考浙江省永嘉中学 (325100) 赵 万 双 【背景】2013 年浙江省学业水平考试已结束，数学试卷第 41 题留给我们的思考却远未停止，研究该题可以指导我们今后的复习工作。考后本人对两个班级的学生成绩作了统计，该题得分率只有 0.45，针对原题结论结合学生解题情况，本文从不同视角、一般化归、类比推导、原因分析、引申拓展等几个方面对该题进行探究，得出了定点线与圆锥曲线相交时的定值结论。1 原题呈现如图，过点的直线交抛物线于点、，（1）求的值；（2）动直线及抛物线上动点（不同于点、），设直线与直线相交直线分别于点、，问：是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，说明理由.（1）分析：根据已知条件，设过点的直线的斜率为 （存在），则直线方程为，联立方程组得：，整理得：，所以的值为，视角1：设点的坐标为，则斜率，，直线的方程是，与直线联立方程组得到：，所x以，所以所以==，当，得到时，使得.视角 2：向量法设点的坐标为，=，由方法 1可知：，所以=+=+=， 当时 ， 解 得， 使 得.视角 3：共线法设点的坐标为，，点共线，所以，，，=，=，，所以==，当，得到时，使得.思考:在不同视角下为何只存在一个值, 使得. 的取值是否与点 P 的坐标有关系呢?2 结论的一般化如图，过点的直线交抛物线于点、，（1）求的值；（2）动直线及抛物线上动点（不同于点、），设直线与直线相交直线分别于点、，问：是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，说明理由.分析:根据已知条件，设过点的直线的斜率为（存在），则直线方程为，联立方程组得：，整理得：，所以的值为，（2）设点的坐标为，则斜率，，直线的方程是，与直线联立方程组得到：，所以，所以所以==，当，得到时，使得.点评:本题主要考查抛物线的标准方程及几何性质、直线与抛物线的位置关系等,旨在考查考生综合应用知识的能力.结论中为什么存在常数（与的取值无关），与定点有一定关系，的取值与定点中的值有着怎么样的关系呢？,为了得出科学的结论,大胆做出更一般化推导3 类比推导如图，过点的直线交抛物线于点、，（1）求的值；（2）动直线及抛物线上动点（不同于点、），设直线与直线相交直线分别于点、，问：是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，说明理由.分析:根据已知条件，设过点的直线的斜率为（存在），则直线方程为108642246551015F: (–1.00, 0.00)FNMOABC...
