2025版新教材高中数学第三章复数3VIP免费

*3.4 复数的三角表示 最新课程标准 学科核心素养 1.了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系． 2．了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义． 1.借助复数的三角形式，培育数学抽象的核心素养． 2．通过复数三角形式的运算，培育数学运算的核心素养． 教材要点 要点一 i2＝－1 的几何意义 将复数z 对应的向量绕起点逆时针旋转180°，就是将复数z 乘i2. 虚数单位i 乘随意复数z 的几何意义是：将复数z 对应的平面对量逆时针旋转90°. 状元随笔 (1)复数z 对应的复平面上的向量与iz 对应的复平面上的向量相互垂直． (2)将直角坐标平面上的点P(x，y)逆时针旋转90 °得到的点Q 的坐标为(－y ，x)． 要点二 复数的三角表示 1．复数的辐角：以x 轴的正半轴为始边，复数z 对应的复平面上的向量所在射线为终边的角，叫作复数z 的辐角，记作θ＝arg z. 2．若复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模为r，辐角为θ，则复数z＝a＋bi 可以表示为z＝r(cos θ＋isin θ)，称z＝r(cos θ＋isin θ)为复数z＝a＋bi 的三角形式． 状元随笔 (1)若θ为复数z 的一个辐角，则arg z ＝θ＋2kπ(k∈Z)． (2)复数z ＝0 的辐角是随意的． (3)两个复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)与z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)相等的充要条件是r1＝r2＝0 或r1＝r2>0 且θ1＝θ2＋2kπ(k∈Z)． 要点三 三角形式下复数的乘除运算 1．若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则 z1z2＝r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]. 2．若复数z＝r(cos θ＋isin θ)，则zn＝rn(cos nθ＋isin nθ)． 3．若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)(r2>0)，则＝[cos (θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]. 状元随笔 (1)两个三角形式的复数的乘积的模等于模的积，乘积的辐角等于它们的辐角之和． (2)复数三角形式的乘方法则，也叫作棣莫弗定理，它是复数中一个重要公式． (3)三角形式的复数的商，其辐角等于它们的辐角之差． 要点四 复数乘法和除法的几何意义 两个复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)的积z1z2对应的向量为：在复平面上，将复数z1对应的向量旋转θ2，再将模变成原来的r2倍而得到的向量. 两个复数相除，商的模等于它们模的商，商的辐角等于它们的辐角之差． 状元随笔 当θ2>0 时，将z1对应向量逆时针旋转；当θ2<0 时，将z1对应向量...