热点专题解读第二部分 专题五 几何图形探究问题• 题型一 线段、周长最值问题常考题型 · 精讲例 1 (2015· 贵阳 ) 如图，在矩形纸片 ABCD 中， AB ＝ 4 ， AD ＝ 12 ，将矩形纸片折叠，使点 C 落在 AD 边上的点 M 处，折痕为 PE ，此时 PD ＝ 3.(1) 求 MP 的值；2• ☞ 解题步骤• 第一步：要求 MP 的值，观察可得， MP 在 Rt△MHP 中；• 第二步：根据折叠的性质和矩形的性质，结合勾股定理即可求解．【解答】 四边形ABCD为矩形， ∴CD＝AB＝4，∠D＝90°. 将矩形ABCD折叠，点C落在AD边上的点M处，折痕为PE， ∴PD＝PH＝3，CD＝MH＝4，∠H＝∠D＝90°， ∴MP＝ PH2＋MH2＝ 32＋42＝5. 3• (2) 在 AB 边上有一个动点 F ，且不与点 A ， B 重合．当 AF 等于多少时，△ MEF 的周长最小？• ☞ 解题步骤• 第一步：要求△ MEF 的周长最小时， AF 的长度，已知点 F 为动点，即作点 M关于 AB 的对称点 M′ ，连接 M′E 交 AB 于点 F ，可得点 F 即为所求；• 第二步：过点 E 作 EN⊥AD ，垂足为 N ，则 AM 的值即可求得，即可得AM′ 的值；• 第三步：证明 ME ＝ MP ＝ 5 ，利用勾股定理求得 MN ，即可得 NM′ 的值；• 第四步：证明△ AFM′∽△NEM′ ，即可利用相似比求得 AF 的值．4• 【解答】如答图 1 ，作点 M关于 AB 的对称点 M′ ，连接 M′E 交 AB 于点 F ，则点 F 即为所求．• 过点 E 作 EN⊥AD ，垂足为点 N ，• AM ＝ AD － MP － PD ＝ 12 － 5 － 3 ＝ 4 ，∴ AM ＝ AM′ ＝ 4.• 将矩形 ABCD 折叠，点 C 落在 AD 边上的点 M处，折痕为PE ，∴∠ CEP ＝∠ MEP. 5又 ∠CEP＝∠MPE， ∴∠MEP＝∠MPE，∴ME＝MP＝5. 在Rt△ENM中，MN＝ ME2－NE2＝ 52－42＝3， ∴NM′＝11. AF∥NE，∴△AFM′∽△NEM′， ∴M′AM′N＝AFNE，即 411＝AF4 ，解得AF＝1611， 即当AF＝1611时，△MEF的周长最小. 6• (3) 若点 G ， Q 是 AB 边上的两个动点，且不与点 A ， B 重合， GQ＝ 2. 当四边形 MEQG 的周长最小时，求最小周长值 ( 计算结果保留根号 ) ．• ☞ 解题步骤• 第一步：要求四边形 MEQG 周长的最小值，即利用两点之间线段最短求解；• 第二步：由点 M′ 是点 M关于 AB 的对称点，在 EN 上截取 ER...
