2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 问题提出1. 如何求作两个非零向量的和向量、差向量？2. 相同的几个数相加可以转化为数乘运算，如 3 ＋ 3 ＋ 3 ＋ 3 ＋ 3=5×3=15. 那么相等的几个向量相加是否也能转化为数乘运算呢？这需要从理论上进行探究 . abaabba+ba- b 探究一：向量的数乘运算及其几何意义思考 1 ：已知非零向量 a ，如何求作向量 a ＋ a ＋ a 和（－ a ）＋（－a ）＋ （－ a ）？aaOaaABC－ a－ a－ aOMNPa ＋ a ＋a OC =uuur （－ a ）＋（－ a ）＋（－a ）OP =uuur 思考 2 ：向量 a ＋ a ＋ a 和（－ a ）＋（－ a ）＋（－ a ）分别如何简化其表示形式？ a ＋ a ＋ a 记为 3a ，（－ a ）＋（－ a ）＋（－ a ）记为－3a.思考 3 ：向量 3a 和－ 3a 与向量 a 的大小和方向有什么关系？2-aaOaaABC－ a－ a－ aOMNP 思考 4 ：设 a 为非零向量，那么 a 和 a 还是向量吗？它们分别与向量 a 有什么关系？232-a23a2-a 思考 5 ： 一般地，我们规定：实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘 . 记作 λa ，该向量的长度与方向与向量 a 有什么关系？（ 1 ） |λa|=|λ||a| ；（ 2 ） λ>0 时 ,λa 与 a 方向相同； λ<0 时 ,λa 与 a 方向相反； λ=0 时 ,λa =0. 思考 6 ：如图，设点 M 为△ ABC 的重心，D 为 BC 的中点，那么向量 与 ， 与 分别有什么关系？BDuuurBCuuurADuuurDMuuuurABCDM12BDBC=uuuruuur3ADDM= -uuuruuuur 探究二 : 向量的数乘运算性质 思考 1 ：你认为－ 2× （ 5a ）， 2a ＋2b ， a 可分别转化为什么运算？(32)+-2× (5a)= -10a ；2a ＋ 2b = 2(a+b) ； (3 ＋ )a =3a ＋ a.22 思考 2 ：一般地，设 λ ， μ 为实数，则 λ(μa) ， (λ ＋ μ) a ， λ(a ＋b) 分别等于什么？λ(μa)=(λμ) a ；(λ ＋ μ) a =λa ＋ μa ； λ(a ＋ b)=λa ＋ λb. 思考 3 ：对于向量 a （ a≠0 ）和 b ，若存在实数 λ ，使 b=λa ，则向量 a与 b 的方向有什么关系？思考 4 ：若向量 a （ a≠0 ）与 b 共线，则一定存在实数 λ ，使 b=λa 成立吗？思考 5 ：综上可得向量共线定理：向量a （ a≠0 ）与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ ，使 b=λa....
