专题四4.2 数列的通项与求和高频考点•探究突破核心归纳•预测演练4.2 数列的通项与求和专题四4.2 数列的通项与求和高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-2-突破点一突破点二突破点三由数列的递推关系求通项【例 1 】根据下列条件 , 确定数列 {an} 的通项公式 :(1) 数列 {an} 满足 a1+3a2+…+(2n-1)an=2n;(2)a1=2,an+1=an+lnቀ1 +1𝑛ቁ; (3)a1=1,ax+1=3an+2.分析推理 (1) 根据式子结构特征 , 把 (2n-1)an 看作一个整体 , 则该问题就看作已知和 Sn 求通项的问题 , 根据项与和的关系式求解即可 ;(2) 根据递推关系以及对数运算 , 可以利用累加法求其通项 ;(3) 因为递推关系中两项的系数不同 , 所以应该通过变形构造等比数列求解通项 .专题四4.2 数列的通项与求和高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-3-突破点一突破点二突破点三解 :(1) a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,故当 n≥2 时 ,a1+3a2+…+(2n-3)=2(n-1),两式相减得 (2n-1)an=2,∴an=22𝑛-1(n≥2). 又由题设可得 a1=2,满足上式, 从而{an}的通项公式为 an=22𝑛-1(n∈N*). 专题四4.2 数列的通项与求和高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-4-突破点一突破点二突破点三(2) an+1=an+lnቀ1 +1𝑛ቁ, ∴an-an-1=lnቀ1 +1𝑛-1ቁ=ln𝑛𝑛-1(n≥2), ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =ln𝑛𝑛-1+ln𝑛-1𝑛-2+…+ln32+ln 2+2 =2+lnቀ𝑛𝑛-1 ·𝑛-1𝑛-2 ·…·32 ·2ቁ=2+ln n(n≥2). 又 a1=2 适合上式 , 故 an=2+ln n(n∈N*). 专题四4.2 数列的通项与求和高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-5-突破点一突破点二突破点三(3) 方法一 ( 直接变形 )由 an+1=3an+2, 得 an+1+1=3(an+1). a1=1, 知 a1+1=2,an+1≠0,∴𝑎𝑛+1+1𝑎𝑛+1 =3. ∴ 数列 {an+1} 是以 2 为首项 , 以 3 为公比的等比数列 .则 an+1=2·3n-1, 故 an=2·3n-1-1.方法二 ( 待定系数法 )由已知 , 设 an+1+t=3(an+t), 则整理得 an+1=3an+2t.由已知可得 2t=2, 解得 t=1.∴an+1+1=3(an+1). 下同方法一 .专题四4.2 数列的通项与求和高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-6-突破点一突破点二突破点三 【例 1 】 (3) 中 , 若已知 an+1=3an+2n-1呢 ? 解法一 ( 直接变形 ) 由 an+1=3an+2n-1, 得 an+1+(n+1)=3(an+n).令...
