第 3 讲 导数的综合应用1 ．求参数的取值范围与导数相关的参数范围问题是高考中考查的一个重点，大多给出函数的单调性，属运用导数研究函数单调性的逆向问题，解题关键在于灵活运用等价转化、分类讨论、数形结合等思想方法，建立关于字母参数的不等关系．2 ．用导数方法证不等式用导数证不等式的一般步骤是：构造可导函数→研究单调性或最值→得出不等关系→整理得出结论．3 ．平面图形面积的最值问题此类问题的求解关键在于根据几何知识建立函数关系，然后运用导数方法求最值．上述三类问题，在近几年的高考中都是综合题，难度较大，体现了在知识交汇点处命题的思路，注重考查综合解题能力和创新意识，复习时要引起重视．)A则物体在 t ＝ 3 s 的瞬时速度为 (A ． 30C ． 45B ． 40D ． 50)C2 ．已知函数 f(x) ＝ (2πx)2 ，则 f′(x) ＝ (A ． 4πxB ． 8πxC ． 8π2xD ． 16πx1．已知物体自由落体的运动方程 s＝12gt2(其中 g＝10 m/s2)， 3 ．如果函数 y ＝ f(x) 的图像如图 4 － 3 － 1 所示，那么导函数①y ＝ f′(x) 的图像可能是 _____.图 4 － 3 － 15 ．已知函数 y ＝ f(x) 的图像在点 M(1 ， f(1)) 处的切线方程是y ＝ 3x ＋ 1 ，则 f(1) ＋ f′(1) ＝ _____.7考点 1 利用导数研究函数的基本性质例 1 ：设 t≠0 ，点 P(t,0) 是函数 f(x) ＝ x3 ＋ ax 与 g(x) ＝ bx2 ＋ c的图像的一个公共点，两函数的图像在点 P 处有相同的切线．(1) 用 t 表示 a 、 b 、 c ；(2) 若函数 y ＝ f(x) － g(x) 在 ( － 1,3) 上单调递减，求 t 的取值范围． 4．曲线 y＝1x和 y＝x2 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形面积是______. 34 解析：(1)因为函数 f(x)、g(x)的图像都过点(t,0)， 所以 f(t)＝0，即 t3＋at＝0.因为 t≠0，所以 a＝－t2. g(t)＝0，即 bt2＋c＝0，所以 c＝ab. 又因为 f(x)、g(x)在点(t,0)处有相同的切线， 所以 f′(t)＝g′(t)． 而 f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝2bx，所以 3t2＋a＝2bt. 将 a＝－t2 代入上式得 b＝t.因此 c＝ab＝－t3. 故 a＝－t2，b＝t，c＝－t3. (2)方法一：y＝f(x)－g(x)＝x3－t2x－tx2＋t3， y′＝3x2－2tx－t2＝(3x＋t)(x－t)． 当 y′＝(3x＋t)(x－t)<0 时，函数 y＝f(x)－g(x)单调递减． 由 y′<0，若 t>0，则－t3
