二维形式的柯西不等式VIP专享VIP免费

选修 4 － 5 不等式选讲 第三讲 柯西不等式与排序不等式 一 二维形式的柯西不等式 新知探究思考 1 ：对于实数 a,b ，我们有重要不等式 a2 ＋ b2≥2ab. 若 a, b, c, d 是实数，试比较 (a2 ＋ b2)(c2 ＋ d2) 与 (ac ＋bd)2 的大小 . 你有什么发现？ 定理 1 （二维形式的柯西不等式） 若 a, b, c, d 都是实数，则 (a2 ＋ b2)(c2 ＋ d 2)≥(ac ＋ bd)2, 当且仅当 ad ＝ bc 时，等号成立 . 思考 2 ：由二维形式的柯西不等式 , 你能推导下面的不等式成立吗？其中等号何时成立？2222||||abcdacbd(2)2222||abcdacbd(1)2()()()ab cdacbd(3)( , , ,0)a b c d  思考 3 ：对于两个平面向量 α,β ，由数量积定义，有 |α·β|≤|α||β|(*) ，该不等式取等号的条件是什么？它与柯西不等式有什么内在联系？当 α ， β 共线时取等号， 设 α ＝ (a ， b) ， β ＝(c ， d) ，则 2222||abcdacbd二维形式的柯西不等式是向量不等式 (**) 的坐标表示 . 思考 4 ：向量不等式 |α·β|≤|α||β|是二维柯西不等式的几何解释 , 如何理解它与二维柯西不等式取等号的统一性 ? 定理 2 （柯西不等式的向量形式） 设 α, β 是两个向量 , 则有 |α·β|≤|α||β|, 当且仅当 β 是零向量 , 或存在实数 k, 使 α=kβ 时 , 等号成立 . α ， β 共线 ad － bc＝ 0.设 α ＝ (a ， b) ， β ＝(c ， d) ，则 思考 5 ：在直角坐标系中 , 设点 P1(x1, y1), P2(x2,y2),O 为原点 , 则由 |OP1|,|OP2|,|P1P2| 三者之间的不等关系可得什么不等式？xyOP1P2 定理 3 （二维形式的三角不等式） 22222211221212()()xyxyxxyy1122,,,,xyxyR若那么 思考 6 ：在几何上，三角不等式取等号的条件是什么？在代数上 , 如何利用柯西不等式证明三角不等式？22222211221212()()xyxyxxyy当且仅当点 P1, P2 与原点 O 在同一直线上 ,且点 P1,P2 在原点 O的两旁时等号成立 .xyOP1P2 思考 7 ：对于三个点P1(x1 ， y1) ， P2(x2 ， y2) ， P3(x3 ， y3) ，对应的三角不等式是什么？xyOP1P2P3222213132323221212()()()()()()xxyyxxyyxxyy 迁移应用 例 1 已知 a ， b 为实数，证明：442233 2()()(...