课堂 10 分钟达标1.命题“∀x∈R,|x|+x2≥0”的否定是 ( )A.∀x∈R,|x|+x2<0B.∀x∈R,|x|+x2≤0C.∃x0∈R,|x0|+<0D.∃x0∈R,|x0|+≥0【解析】选 C.条件∀x∈R 的否定是∃x0∈R,结论“|x|+x2≥0”的否定是“|x0|+<0”.2.关于命题 p:“∀x∈R,x2+1≠0”的叙述,正确的是 ( )A. p:∃x0∈R,x2+1≠0B. p:∀x∈R,x2+1=0C.p 是真命题, p 是假命题D.p 是假命题, p 是真命题【解析】选 C.命题 p:“∀x∈R,x2+1≠0”的否定是“∃x0∈R,+1=0”.所以 p 是真命题, p 是假命题.3.已知命题 p:∀x∈R,2x<3x;命题 q:∃x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是( )A.p∧qB . p∧qC.p∧( q)D.( p)∧( q)【解析】选 B.由指数函数的性质知,命题 p 是错误的.而命题 q 是正确的.4.命题:“有的三角形是直角三角形”的否定是:_ _.【解析】命题:“有的三角形是直角三角形”是特称命题,其否定是全称命题,按照特称命题改为全称命题的规则,即可得到该命题的否定.答案:所有的三角形都不是直角三角形5.命题“同位角相等”的否定为________,否命题为________.【解析】全称命题的否定是特称命题,“若 p,则 q”的否命题是“若 p,则 q”.故否定为:有的同位角不相等.否命题为:若两个角不是同位角,则它们不相等.答案:有的同位角不相等 若两个角不是同位角,则它们不相等6.写出命题“已知 a=(1,2),存在 b=(x,1),使 a+2b 与 2a-b 平行”的否定,判断其真假并给出证明.【解析】命题的否定:已知 a=(1,2),则对任意的 b=(x,1),a+2b 与 2a-b 都不平行,是一个假命题.证明如下:假设存在 b=(x,1)使 a+2b 与 2a-b 平行,则 a+2b=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4).2a-b=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3).因为 a+2b 与 2a-b 平行,所以存在 λ∈R,使得 a+2b=λ(2a-b).1即(2x+1,4)=λ(2-x,3).所以⇒2x+1= (2-x).解得 x= .这就是说存在 b=使 a+2b 与 2a-b 平行,故已知命题为真命题,其否定为假命题.7.【能力挑战题】已知命题“存在 x0∈R,a-2ax0-3>0”是假命题,求实数 a 的取值范围.【解析】因为命题“存在 x0∈R,a-2ax0-3>0”的否定为“对于任意 x∈R,ax2-2ax-3≤0 恒成立”,由命题真,其否定假;命题假,其否定真可知该命题的否定是真命题.事实上,当 a=0 时,对任意的 x∈R,不等式-3≤0 恒成立;当 a≠0 时,借助二次函数的图象,数形结合,很容易知道不等式 ax2-2ax-3≤0 恒成立的等价条件是 a<0 且其判别式 Δ=4a2+12a≤0,即-3≤a<0;综上知,实数 a 的取值范围是[-3,0].23
