习题课--二项式定理的应用A 组1.已知(a+b)n展开式中只有第 5 项的二项式系数最大,则 n 等于( )A.11B.10C.9D.8解析: 只有第 5 项的二项式系数最大,∴+1=5.∴n=8.答案:D2.的展开式中 x2y3的系数是( )A.-20B.-5C.5D.20解析:由已知,得Tr+1=(-2y)r=(-2)rx5-ryr(0≤r≤5,r∈Z),令 r=3,得 T4=(-2)3x2y3=-20x2y3.故选 A.答案:A3.使(n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的 n 为( )A.4B.5C.6D.7解析:由二项式的通项公式得 Tr+1=3n-r,若展开式中含有常数项,则 n- r=0,即 n= r,所以n 最小值为 5.答案:B4.设函数 f(x)=则当 x>0 时,f[f(x)]表达式的展开式中常数项为( )A.-20B.20C.-15D.151解析:当 x>0 时,f(x)=-<0,则 f[f(x)]=.Tr+1=)6-r·=(-1)r=(-1)rx3-r.令 3-r=0,得 r=3,此时 T4=(-1)3=-20.答案:A5.已知 2×1010+a(0≤a<11)能被 11 整除,则实数 a 的值为 . 解析:根据题意,由于 2×1010+a=2×(11-1)10+a,由于 2×1010+a(0≤a<11)能被 11 整除,根据二项式定理展开式可知,2×(11-1)10被 11 除的余数为 2,从而可知 2+a 能被 11 整除,可知 a=9.答案:96.若(2x-3)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则 a1+2a2+3a3+4a4+5a5等于 . 解析:在已知等式两边对 x 求导,得 5(2x-3)4×2=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4,令 x=1,得a1+2a2+3a3+4a4+5a5=5×(2×1-3)4×2=10.答案:107.在(3x-2y)20的展开式中,系数绝对值最大的项为 . 解析:设系数绝对值最大的项是第 r+1 项,则所以(n+2)·(n∈N+,n>2).证明因为 n∈N+,且 n>2,所以 3n=(2+1)n展开后至少有 4 项.(2+1)n=2n+·2n-1+…+·2+1≥2n+n·2n-1+2n+1>2n+n·2n-1=(n+2)·2n-1,故 3n>(n+2)·2n-1(n∈N+,n>2).10.求证:1+2+22+…+(n∈N+)能被 31 整除.证明 1+2+22+…+=-1=32n-1...
