数列型不等式的放缩技巧九法证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下九种：一 利用重要不等式放缩1． 均值不等式法例 1 设求证解析 此数列的通项为，，即 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 其中，等的各式及其变式公式均可供选用。 例 2 已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为，求证：（02 年全国联赛山东预赛题） 简析 例 3 求证.简析 不等式左边=，故原结论成立.2．利用有用结论 1 / 11例 4 求证简析 本题可以利用的有用结论主要有： 法 1 利用假分数的一个性质可得 即 法 2 利用贝努利不等式的一个特例(此处)得 注：例 4 是 1985 年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成 1998 年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是：证明(可考虑用贝努利不等式的特例) 例 5 已知函数求证：对任意且恒成立。（90 年全国卷压轴题） 简析 本题可用数学归纳法证明，详参高考评分标准；这里给出运用柯西（）不等式的简捷证法：而由不等式得(时取等号) （），得证！例 6 已知用数学归纳法证明；对对都成立，证明（无理数）（05 年辽宁卷第22 题） 2 / 11解析 结合第问结论及所给题设条件（）的结构特征，可得放缩思路：。于是， 即注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩： ，即例 7 已 知 不 等 式表 示 不 超 过 的最大整数。设正数数列满足：求证（05 年湖北卷第（22）题）简析 当时，即 于是当时有 注：①本题涉及的和式为调和级数，是发散的，不能求和；但是可以利用所给题设结论来进行有效地放缩； ②引入有用结论在解题中即时应用，是近年来高考创新型试题的一个显著特点，有利于培养学生的学习能力与创新意识。 3 / 11例 8 设，求证：数列单调递增且 解析 引入一个结论：若则（证略）整理上式得（），以代入（）式得即单调递增。以代入（）式...
