A 整数 A3 数字问题 A3－001 在数3000003 中，应把它的百位数字和万位数字0 换成什么数字，才能使所得的数能被13 整除？ 【题说】 1950 年～1951 年波兰数学奥林匹克三试题2． 【解】 设所求数字为x和y，则有 因为106、104、102 除以13 时，分别得余数1、3、9，所以 n≡3＋3x＋9y＋3＝3（2＋x＋3y）（mod 13） 当且仅当x＋3y＋2 被13 整除，即 x＋3y＋2＝13m（m 为自然数） （1） 时，n被13 整除．由于 x＋3y＋2≤9＋3·9＋2＝38 所以m 只能取 1 或 2． 当m＝1 时，由方程（1）及 0≤x，y≤9，解得 x＝8，y＝1；x＝5，y＝2；x＝2，y＝3 当m＝2 时，解得x＝9，y＝5；x＝6，y＝6；x＝3，y＝7；x＝0，y＝8． 故本题共有7 个解：3080103，3050203，3020303，3090503，3060603，3030703，3000803． A3－002 求出所有这样的三位数，使其被11 整除后的商数等于该三位数各位数字的平方和． 【题说】 第二届（1960 年）国际数学奥林匹克题1．本题由保加利亚提供． 【解】 设这个三位数除以11 以后的商为10a＋b，其中 a 是商的十位数，b 是商的个位数．若 a＋b≥10，则原数为 100（a＋1）＋10（a＋b－10）＋b 若 a＋b＜10，则原数为 100a＋10（a＋b）＋b 以下对这两种情形分别讨论． 先考虑第一种情形．由题设有 （a＋1）2＋（a＋b－10）2＋b2＝10a＋b （1） 若 a＋b＞10，则有 （a＋1）2＋（a＋b－10）2＋b2≥（a＋1）2＋1＋ （11－a）2 故若（1）式成立，只能有a＋b＝10． 将 b＝10－a 代入（1）解得唯一的一组正整数解 a＝7，b＝3 再考虑第二种情形．此时由题设有 a2＋（a＋b）2＋b2＝10a＋b （2） 若a＋b＞5，则有 a2＋（a＋b）2＋b2＝2（a＋b）·a＋2b2＞10a＋b 故若（2）成立，只能有a＋b≤5．注意在（2）式中左边和 10a 都是偶数；因此 b 也是偶数．若a＋b＜5，则b 只能为 2，将 b＝2 代入（2）得不到整数解，因此只能有a＋b＝5． 将 b＝5－a 代入（2）得唯一的一组正整数解 a＝5，b＝0 综上所述，合乎要求的三位数只有550，803． A3－003 下面是一个八位数除以一个三位数的算式，试求商，并说明理由． 【题说】 1958 年上海市赛高三题 1． 【解】 原式可写成： 其中所有未知数都表示数字，且下标为 1 的未知数都不等于零．x1x2x3 等表示 x1·102＋x2·10＋x3 等． （1）因为得到商的第一个数字 7 后，同时移下两个数字 a5、a6，所以 ...
