A4 整除 A4－001 证明：当且仅当指数n 不能被4 整除时，1n＋2n＋3n＋4n能被5 整除． 【题说】1901 年匈牙利数学奥林匹克题1． 【证】容易验证14≡24≡34≡44 （mod 5） 假设n=4k＋r，k 是整数，r=0，1，2，3．则 Sn=1n＋2n＋3n＋4n≡1r＋2r＋3r＋4r（mod 5） 由此推出，当r=0 时，Sn≡4，而当r=1，2，3 时，Sn≡0（mod 5）．因此，当且仅当n 不能被4整除时，Sn能被5 整除． A4－002 证明：从n 个给定的自然数中，总可以挑选出若干个数（至少一个，也可能是全体），它们的和能被n 整除． 【题说】1948 年匈牙利数学奥林匹克题3． 【证】设a1，a2，…，an是给定的n 个数．考察和序列：a1，a1＋a2，a1＋a2＋a3，…，a1＋a2＋…＋an． 如果所有的和数被n 除时余数都不相同，那么必有一个和数被n 除时余数为0．此时本题的断言成立． 如果在n 个和数中，有两个余数相同（被n 除时），那么从被加项较多的和数中减去被加项较少的和数，所得的差能被n 整除．此时本题的断言也成立． A4－003 1．设n 为正整数，证明132n－1 是168 的倍数． 2．问：具有那种性质的自然数n，能使1＋2＋3＋…＋n 整除1·2·3…·n． 【题说】1956 年上海市赛高三复赛题1． 【解】1．132n－1=（132）n－1，能被132－1，即 168 整除． 2．问题即 何时为整数． （1）若n＋1 为奇质数，则 （n＋1） 2（n－1）！ （2）若n＋1=2，则 （n＋1）|2（n－1）！ （3）若n＋1 为合数，则 n＋1=ab 其中a≥b＞1． 在b=2 时，a=n＋1－a≤n－1，所以 a|（n－1）！，（n＋1）|2（n－1）！ 在b＞2 时，2a≤n＋1－a＜n－1，所以 2ab|（n－1）！ 更有 （n＋1）|2（n－1）！ 综上所述，当n≠p－1（p 为奇质数）时，1＋2＋…＋n 整除1·2…·n． A4－004 证明：如果三个连续自然数的中间一个是自然数的立方，那么它们的乘积能被504 整除． 【题说】 1957 年～1958 年波兰数学奥林匹克三试题1． 【证】设三个连续自然数的乘积为n=（a3－1）a3（a3＋1）． （1）a≡1，2，-3（mod 7）时，7|a3－1．a≡－1，－2，3（mod 7）时，7|a3＋1．a≡0（mod 7）时，7|a3．因此7|n． （2）当a 为偶数时，a3被8 整除；而当a 为奇数时，a3－1 与a3＋1 是两个相邻偶数，其中一个被4 整除，因此积被8 整除． （3）a≡1，－2，4（mod 9）时，9|a3－1．a≡－1，2，-4（mod 9）时，9|a3＋1．a≡0，±3（mod 9）时，9|a3．因...
