2015.1.23-24 JZX 1 / 11 圆锥曲线的第三定义及运用 一 、 椭 圆 和 双 曲 线 的 第 三 定 义 1. 椭 圆 在 椭 圆2222C10xyabab：中 ， A、 B 是 关 于 原 点 对 称 的 两 点 ， P 是 椭 圆 上 异 于 A、 B 的 一点 ， 若PAPBkk、存 在 ， 则 有 ：222=1=PAPBbkkea• 证 明 ：构 造 △ PAB 的 PA 边 所 对 的 中 位 线 MO，PAMOkk，由 点 差 法 结 论 ：222=1=MOPBbkkea•知 此 结 论 成 立 。 2. 双 曲 线 在 双 曲 线2222C1xyab：中 ，A、B是 关 于 原 点 对 称 的 两 点 ，P 是 椭 圆 上 异 于 A、B的 一 点 ，若PAPBkk、存 在 ， 则 有 ：222=1=PAPBbkkea• 证 明 ： 只 需 将 椭 圆 中 的2b 全 部 换 成2b就 能 将 椭 圆 结 论 转 换 成 双 曲 线 的 结 论 。 2015.1.23-24 JZX 2 / 11 二 、 与 角 度 有 关 的 问 题 例 题 一 ： 已 知 椭 圆2222C10xyabab：的 离 心 率32e ， A、 B 是 椭 圆 的 左 右 顶 点 ， 为 椭 圆 与 双 曲线22178xy 的 一 个 交 点 ， 令PAB=APB=， ， 则cos=cos 2 . 解 答 ： 令=PBx ， 由 椭 圆 第 三 定 义 可 知 ：21tantan =1=4e• coscoscoscossinsin1tantan3===cos 2coscoscossinsin1tantan5•• 点 评 ： 其 实 所 谓 的 双 曲 线 方 程 只 是 一 个 障 眼 法 ， 并 不 影 响 题 目 的 解 答 。 两 顶 点 一 动 点 的 模 型 要 很 快 的 联想 到 第 三 定 义 ， 那 么 剩 下 的 任 务 就 是 把 题 目 中 的 角 转 化 为 两 直 线 的 倾 斜 角 ， 把 正 余 弦 转 化 为 正 切 。 题目 中 的 正 余 弦 化 正 切 是 三 角 函 数 的 常 见 考 点 ☆ 。 2015.1.23-24 JZX 3 / 11 变式 1-1：（石室中学2015 级高二下 4 月 18 日周末作业） 已知双曲线22C2015xy：的左右顶点分别为 A、B，P 为双曲线右支一点，且=4PABAPB，求=PAB . 解答： 令=02PAB，，=0 2PBA...
