第三章 多维随机变量及其分布 一、问答题 1 、 事 件},{yYxX表 示 事 件}{xX 与}{yY 的 积 事 件 ， 为 什 么},{yYxXP不一定等于}{}{yYPxXP？ 2、二维随机变量（X，Y）的联合分布、边缘分布及条件分布之间存在什么样的关系？ 3、多维随机变量的边缘分布与一维随机变量的分布之间有什么联系与区别？ 4、两个随机变量相互独立的概念与两个事件相互独立是否相同？为什么？ 5、两个相互独立的服从正态分布的随机变量1X 与2X 之和仍是正态随机变量，那么它们的线性组合21bXaX 呢？ 1、答：如同仅当事件 A、B 相互独立时，才有)()()(BPAPABP一样，这里},{yYxXP 依乘法原理有}|{}{},{xXyYPxXPyYxXP，只有事件}{xX 与}{yY 相互独立时，才有}{}{},{yYPxXPyYxXP 2、答：由边缘分布与条件分布的定义与公式知，联合分布唯一确定边缘分布，因而也唯一确定条件分布。反之，边缘分布与条件分布都不能唯一确定联合分布。但由)|()(),(|xyfxfyxfXYX知，一个条件分布和它对应的边缘分布，能唯一确定联合分布。但是，如果 X，Y 相互独立，则}{}{},{yYPxXPyYxXP，即)()(),(yFxFyxFYX。说明当X，Y 相互独立时，边缘分布也唯一确定联合分布，从而条件分布也唯一确定联合分布。 3、答：从某种意义上讲，可以说多维随机变量的边缘分布是一维随机变量的分布。 如 二 维正 态 分布),,,,(~),(222121NYX的 边 缘 分布),(~211 NX，),(~222 NY也具有一维分布的性质。但是从严格的整体意义上讲，多维随机变量的边缘分布是定义在多维空间上的，而一维分布是定义在平面域上的。例如二维随机变量（X，Y）关于 X 的边缘分布函数)(xFX表示（X，Y）落在区域},{YxX上的概率，而一维随机变量X 的分布函数)(xF表示 X 落在区间],(x上的概率，两者是有区别的。 4、答：两个随机变量X 与 Y 相互独立，是指组成二维随机变量（X，Y）的两个分量X，Y 中一个分量的取值不受另一个分量取值的影响，满足 }{}{},{yYPxXPyYxXP。而两个事件的独立性，是指一个事件的发生不受另一个事件发生的影响，故有)()()(BPAPABP。两者可以说不是一个问题。但是，我们知道，组成二维随机变量（X，Y）的两个分量X，Y 是同一试验E 的样本空间上的两个一维随机变量，而A，B也是一个试验E1 的样本空间上的两个事...
