数学物理方程第四章积分变换法VIP专享VIP免费

104 第四章 积分变换法 积分变换法是求解偏微分方程的一种基本方法. 不仅如此，在自然科学和工程技术的许多领域也有着广泛应用. 本章介绍Fou rier 变换在求解偏微分方程定解问题中的应用. 主要以一维热传导方程，一维波动方程及平面上的Laplace 方程为主. 对于高维情形，由于计算过程要复杂一些，故只做简单介绍，也不做过多要求. §41 热传导方程 Cauchy问题 4.1.1 一维热传导方程Cauchy问题 考虑如下问题 2( , ), , 0 (1. 1)( ,0)( ), (1. 2)txxua uf x txtu xxx     下面利用Fou rier 变换求解该定解问题. 设0为常数，函数2xe 的Fou rier 变换为 224( )xF ee (1.3) 为书写方便起见，引入记号ˆ( )( ( ))( ),fF f x, 如果f 为二元函数),(txf， ),))(,((),(ˆttxfFtf表示对),(txf中的空间变量x作Fou rier 变换的像函数，此时t 作为参数对待. 对（1.1）—（1.2）关于空间变量x作Fou rier 变换得 22ˆ( , )ˆˆ( , )( , ), 0ˆˆ( ,0)( ) .dutautfttdtu  上面是一阶线性常微分方程的初值问题，解之可得 2222 ()0ˆˆˆ( , )( )( , )tatatutefed   (1.4) 利用（1.3）得 ),)( 21(22224tetaFetaxta ),)()(21()(4)(2222tetaFetaxta 记 2241Γ ( , )( )2xa tx teu ta πt （1.5） 其中)(tu为单位阶跃函数. 则有 105 22ˆ( ( , ))( )( , )ateFx tt  22 ()ˆ( ( ,))( )( ,)ateFx tt  利用上面结果将（1.4）改写为 0ˆˆˆˆˆ( , )( ) ( , )( , ) ( ,)tuttftd   (1.6) 对（1.6）两边取Fourier 逆变换，并利用Fou rier 变换卷积公式 ))(()))((ˆ)(ˆ(21211xffxffF 便得 0( , )( ) Γ ( ,( , )*Γ ( ,)tu x txx t)f xx td 0( ) (, )( , ) (,)txt ddfxtd   2222()()4()401( )( , )2 2( )xxtata tdedfedatat   (1.7) （1.7）即为定解问题（...