习题解答习 题 5－11．已知一个函数的导数是，且当 x = 1 时, 该函数值是，求这个函数.解 设所求函数为 f(x), 则由题意知 '21(arcsin )1xx因为 '2d( )( )darcsin1xf xfxxxCx所以又当 x = 1 时，，代入上式, 得 C = 故满足条件的函数为 .2．验证在(-∞,+∞) 内, ，， 都是同一函数的原函数．解 因为 221sin,cos 2 ,cossin 22xxxx所以都是的原函数.3．求下列不定积分：（1）；解 ；（2）；解 ；（3）；解 ； （4）；解 ；1（5）；解 ；（6）；解 ；（7）；解 ；（8）；解 ；（9）；解 ；（10）； 解 ；（11）；解 ；（12）；解 ；（13）；解 ；（14）；解 ；（15）；解 ；2（16）；解 ；（17）；解 ；（18）；解 ；（19）；解 ；（20）；解 ；（21）；解 ；（22）；解 ；（23）．解 ．（24）；解 ；3（25）； 解 ；（26）.解 .4．已知一曲线通过点，且曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程．解 设所求曲线方程为，则 ，，由曲线过点，得，即所求曲线方程为．5.设某企业的边际收益是 (其中 x 为产品的产量)，且当产量 x = 0 时，收益 R = 0. 试求收益函数 R(x) 和平均收益函数.解 由已知边际收益是 所以在上式两端积分, 得2( )(1000.01 )d1000.005R xxxxxC将代入上式, 得 C = 0故收益函数为 2( )1000.005R xxx平均收益函数为 ( )1000.005R xx.6. 一种流感病毒每天以 (240 t – 3 t 2 ) / 天的速率增加, 其中 t 是首次爆发后的天数，如果第一天有 50 个病人，求在第 10 天被感染的人数．解 设为 天被感染上的人数, 则由题意得 2d2403dyttt 所以上式两端积分, 得 223( )(2403)d120y ttttttC又当时，代入上式, 得 C = －692323( )12069(10)120(10)106910931()y ttty故 而 人 7. 已知 f(x) = k tan2x 的一个原函数是，求常数 k.解 因为是 f(x)的一个原函数, 所以'2214(ln cos 2 )( 2sin 2 )tan 2( )33 cos 23xxxf xx 44 tan 2tan 234 .3xkxk即 故 8. 已知, 求函数 f(x).解 因为由不定积分的性质, 有'111(1)d(1)(1)xxxf xxf xexex e所以, 令 t = x+1,有( ),( ).txf ttef xxe即 9. 设 f(x) 是(...
