2.22.6等价表示VIP专享VIP免费

1 §2 等价表示 问题：找出群的所有表示并研究它们的性质，设 {}( ), ( ), ( ),TT e T fT g"＝ GV是在上的表示。AVVVV′′是到上的非异线性算符， 与同维数 ，1,( )( ) AgG TgAT g AV−′∈=对是上的线性算符 ，并且有 1 . {}( )AATTTggG=∈与一一对应 2 . 11121212()()() ()ATg gAT g gAAT gT gA−−== 111212()()()(g )AAAT gA AT gATgT−−== 2 故 ATT≅ ATGV′是在上的一个表示 ,AAT⎧⇒⎨⎩等价表示有无穷多有无穷多有无穷多表示可约表示 定义TGV令是在上的一个表示，TGV′′是在上的一个表示， VV′与同维数。 非异线性算符 A ：VV′→使对每个gG∈，有 1( )( )T gAT g A−′= 则称T 与T′ 为等价表示，特别地，V 与V′可以是同一空间，A ：VV→。显然T 与T′ 等价时， TT′≅ 3 等价表示之间的关系 设V 的基向量组 {}1nee" V′的基向量组 {}1nee′′" []11nneeA ee⎡⎤′′ =⎣⎦"" [] []11( )( )nnjkT geeeetg⎡⎤=⎣⎦"" [][]111111( )( )( )( )( )nnnnjknjkT geeAT g AeeAT geeA eetgeetg−⎡⎤⎡⎤′′′′′=⎣⎦⎣⎦=⎡⎤=⎣⎦⎡⎤′′ ⎡⎤=⎣⎦⎣⎦""""" 4 这说明，由A 确定的等价表示T 与T′的对应算符( )T g 与( )T g′分别在基向量{}1nee……与{}1nee′′"下的矩阵相同 推论 1 等价表示的维数相同 推论 2 等价于同一个表示的表示相互等价 5 例 1 3 D群在 {}223( )2, ,Ff raxbycxy a b cR==++ ⋅∈ 上的诱导算符群 {}( )TT g gG=∈ 3,( )DT g给出的一个三维表示 它的算符在基函数 {}22,,2xyxy 2 - 4下的矩阵见表第一行 6 7 非异线性算符 11102211011110022001001AA−⎛⎞⎜⎟⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=−=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎝⎠ 使 22222222110221100012A xyxyxyxyxyxyxy⎛⎞⎜⎟⎡⎤⎡⎤=−⎣⎦⎣⎦ ⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎡⎤=+−⎣⎦ {}{}222222,,2,,2Ax yxyxy xyxy→+−即 将基函数基函数 8 {}1( )( )TTT gAT g AgG−′′==∈的等价表示 {}{}222222( ),,2( ),,2T gxyxyxyT gxyxy′+−=在下的矩阵 在下的矩阵 {}22222 - 4 , ,,2( )( )xyxyxyT gT g+−′由表基函数下，与诱导算符的矩阵不同，故 T′不是诱导算符群。例如： 33222222221222222222()22( )()22()T cxyxyxyxyxyxyTT cxyxyxyxyxyxyT′⎡⎤⎡⎤+−=+−⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤+−=+−⎣⎦⎣⎦ ...